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學(xué)好相似三角形不僅能讓我們對圖形相似有更深刻的認識,也能使我們以前學(xué)過(guò)的全等三角形的知識得以鞏固和提高. 正是由于相似三角形具有很強的綜合性,在歷年中考中,常常對相似三角形的知識點(diǎn)進(jìn)行考查.
例1 (2013·佛山)如圖1所示的網(wǎng)格中每個(gè)方格都是邊長(cháng)為1的正方形. 若A,B,C,D,E,F都是格點(diǎn),試說(shuō)明△ABC∽△DEF.
【分析】利用圖形與勾股定理可以推知圖中兩個(gè)三角形的三條對應邊成比例,由此可以證得△ABC∽△DEF.
解:∵在△ABC中,AC=,BC==,AB=4. 在△DEF中,DF==2,EF==2,ED=8.
∴===2,∴△ABC∽△DEF.
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定、勾股定理. 三角形相似的判定方法有:
(1) 平行線(xiàn)法:平行于三角形一邊的直線(xiàn)與其他兩邊相交,所構成的三角形與原三角形相似,這是判定三角形相似的一種基本方法,相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型,在應用時(shí)要善于從復雜的圖形中抽象出這些基本圖形;
(2) 三邊法:三組對應邊的比相等的兩個(gè)三角形相似;
(3) 兩邊及其夾角法:兩組對應邊的比相等且?jiàn)A角對應相等的兩個(gè)三角形相似;
(4) 兩角法:有兩組角對應相等的兩個(gè)三角形相似.
例2 (2013·自貢)如圖2,在平行四邊形ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分線(xiàn)交BC于E,交DC的延長(cháng)線(xiàn)于F,BG⊥AE于G,BG=4,則△EFC的周長(cháng)為().
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理;平行四邊形的性質(zhì).
【分析】題中有平行的條件,便可考慮根據相似三角形的周長(cháng)之比等于相似比,求出△ABE的周長(cháng),便可得出△EFC的周長(cháng).
解:∵在▱ABCD中,AB=CD=6,AD=BC=9,∠BAD的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E,
∴∠BAF=∠DAF.
∵AB∥DF,AD∥BC,
∴∠BAF=∠F=∠DAF,∠BAE=∠DAF=∠AEB,
∴AB=BE=6,AD=DF=9,
∴△ADF是等腰三角形,△ABE是等腰三角形.
∵AD=BC,AB=DC,
∴EC=FC=9-6=3.
在△ABG中,BG⊥AE,AB=6,BG=4,
∴AG==2,∴AE=2AG=4,
∴△ABE的周長(cháng)等于16.
又∵△CEF∽△BEA,相似比為1∶2,
∴△CEF的周長(cháng)等于8,故選D.
【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性質(zhì),注意掌握相似三角形的周長(cháng)之比等于相似比,此題難度較大. 相似三角形的性質(zhì)有:
(1) 相似三角形的對應角相等,對應邊成比例;
(2) 相似三角形的一切對應線(xiàn)段(對應高、對應中線(xiàn)、對應角平分線(xiàn))的比等于相似比;
(3) 相似三角形的周長(cháng)比等于相似比;
(4) 相似三角形的面積比等于相似比的平方.
例3 (2013·株洲)已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4. 點(diǎn)Q是線(xiàn)段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q作AC的垂線(xiàn)交線(xiàn)段AB(如圖3)或線(xiàn)段AB的延長(cháng)線(xiàn)(如圖4)于點(diǎn)P.
(1) 當點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí),求證:△AQP∽△ABC;
(2) 當△PQB為等腰三角形時(shí),求AP的長(cháng).
考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì);直角三角形斜邊上的中線(xiàn);勾股定理.
【分析】(1) 由兩對角相等(∠APQ=∠C,∠A=∠A),易證得△AQP∽△ABC.
(2) 當△PQB為等腰三角形時(shí),有兩種情況,需要分類(lèi)討論.
、佼旤c(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí),如題圖3所示. 由三角形相似關(guān)系(△AQP∽△ABC)計算AP的長(cháng);
、诋旤c(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(cháng)線(xiàn)上時(shí),如題圖4所示. 利用角之間的關(guān)系,證明點(diǎn)B為線(xiàn)段AP的中點(diǎn),從而可以求出AP.
解:(1) 證明:在△AQP與△ABC中,
∵∠AQP=∠ABC=90°,∠A=∠A(公共角),∴△AQP∽△ABC.
(2) 解:設AP=x.
∵在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,
∴AC===5.
由(1)知△AQP∽△ABC,
∴=,即=,∴PQ=x.
、儆蓤D3知:PB=AB-AP=3-x.
又∵△PQB為等腰三角形,
∴PQ =PB,即x=3-x,∴x=;
、谟蓤D4知:PB=AP-AB=x-3.
又∵△PQB為等腰三角形,
∴BP=BQ,∠BQP=∠P.
∵∠BQP+∠AQB=90°,∠A+∠P=90°,
∴∠AQB=∠A. ∴BQ=AB,
∴AB=BP,AP=2×3=6.
綜上所述,AP的長(cháng)為或6.
例4 (2013·泰安)如圖9,在四邊形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E為AB的中點(diǎn).
(1) 求證:AC2=AB·AD;
(2) 求證:CE∥AD;
(3) 若AD=4,AB=6,求的值.
考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì);直角三角形斜邊上的中線(xiàn).
【分析】(1) 由AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,可證得△ADC∽△ACB,然后由相似三角形的對應邊成比例,證得AC2=AB·AD;
(2) 由E為AB的中點(diǎn),根據在直角三角形中,斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半,即可證得CE=0.5AB=AE,繼而可證得∠DAC=∠ECA,得到CE∥AD;
(3) 易證得△AFD∽△CFE,然后由相似三角形的對應邊成比例,求得的值.
解:(1) 證明:∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB,∵∠ADC=∠ACB=90°,∴△ADC∽△ACB,∴AD∶AC=AC∶AB,∴AC2=AB·AD;
(2) 證明:∵E為AB的中點(diǎn),∴CE=
0.5AB=AE,∴∠EAC=∠ECA,∵∠DAC=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA,∴CE∥AD;
(3) 解:∵CE∥AD,∴△AFD∽△CFE,∴AD∶CE=AF∶CF,∵CE=0.5AB,∴CE=0.5×6=3,∵AD=4,∴=,∴=.
【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì). 此題難度適中,注意掌握數形結合思想的應用.
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