微分的概念：函數增量的線(xiàn)性主要部分，這個(gè)說(shuō)法有兩層意思，一、微分是一個(gè)線(xiàn)性近似，二、這個(gè)線(xiàn)性近似帶來(lái)的誤差是足夠小的，實(shí)際上任何函數的增量我們都可以線(xiàn)性關(guān)系去近似它，但是當誤差不夠小時(shí)，近似的程度就不夠好，這時(shí)就不能說(shuō)該函數可微分了

不定積分：導數的逆運算

什么樣的函數有不定積分

定積分：由具體例子引出，本質(zhì)是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規則的整體劃作規則的許多個(gè)小的部分，然后再綜合，最后求極限，當極限存在時(shí)，近似成為精確

什么樣的函數有定積分

求不定積分（定積分）的若干典型方法：換元、分部，分部積分中考慮放到積分號后面的部分，不同類(lèi)型的函數有不同的優(yōu)先級別，按反對冪三指的順序來(lái)記憶

定積分的幾何應用和物理應用

高等數學(xué)里最重要的數學(xué)思想方法：微元法

微分和導數的應用：判斷函數的單調性和凹凸性

微分中值定理，可從幾何意義去加深理解

泰勒定理：本質(zhì)是用多項式來(lái)逼近連續函數。要學(xué)好這部分內容，需要考慮兩個(gè)問(wèn)題：一、這些多項式的系數如何求？二、即使求出了這些多項式的系數，如何去評估這個(gè)多項式逼近連續函數的精確程度，即還需要求出誤差（余項），當余項隨著(zhù)項數的增多趨向于零時(shí)，這種近似的精確度就是足夠好的。

下冊（一）：

多元函數的微積分：將上冊的一元函數微積分的概念拓展到多元函數

最典型的是二元函數

極限：二元函數與一元函數要注意的區別，二元函數中兩點(diǎn)無(wú)限接近的方式有無(wú)限多種（一元函數只能沿直線(xiàn)接近），所以二元函數存在的要求更高，即自變量無(wú)論以任何方式接近于一定點(diǎn)，函數值都要有確定的變化趨勢

連續：二元函數和一元函數一樣，同樣是考慮在某點(diǎn)的極限和在某點(diǎn)的函數值是否相等

導數：上冊中已經(jīng)說(shuō)過(guò)，導數反映的是函數在某點(diǎn)處的變化率（變化情況），在二元函數中，一點(diǎn)處函數的變化情況與從該點(diǎn)出發(fā)所選擇的方向有關(guān)，有可能沿不同方向會(huì )有不同的變化率，這樣引出方向導數的概念

沿坐標軸方向的導數若存在，稱(chēng)之為偏導數

通過(guò)研究發(fā)現，方向導數與偏導數存在一定關(guān)系，可用偏導數和所選定的方向來(lái)表示，即二元函數的兩個(gè)偏導數已經(jīng)足夠表示清楚該函數在一點(diǎn)沿任意方向的變化情況

高階偏導數若連續，則求導次序可交換

微分：微分是函數增量的線(xiàn)性主要部分，這一本質(zhì)對一元函數或多元函數來(lái)說(shuō)都一樣。只不過(guò)若是二元函數，所選取的線(xiàn)性近似部分應該是兩個(gè)方向自變量增量的線(xiàn)性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無(wú)窮小，若是，則微分存在

僅僅有偏導數存在，不能推出用線(xiàn)性關(guān)系近似表示函數增量后帶來(lái)的誤差足夠小，即偏導數存在不一定有微分存在

若偏導數存在，且連續，則微分一定存在

極限、連續、偏導數和可微的關(guān)系在多元函數情形里比一元函數更為復雜

極值：若函數在一點(diǎn)取極值，且在該點(diǎn)導數（偏導數）存在，則此導數（偏導數）必為零

所以，函數在某點(diǎn)的極值情況，即函數在該點(diǎn)附近的函數增量的符號，由二階微分的符號判斷。對一元函數來(lái)說(shuō)，二階微分的符號就是二階導數的符號，對二元函數來(lái)說(shuō)，二階微分的符號可由相應的二次型的正定或負定性判斷。

級數斂散性的判別思路：首先看通項是否趨于零，若不趨于零則發(fā)散。若通項趨于零，看是否正項級數。若是正項級數，首先看能否利用比較判別法，注意等比級數和調和級數是常用來(lái)作比較的級數，若通項是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項是乘方形式，考慮用根值判別法。若不是正項級數，取絕對值，考慮其是否絕對收斂，絕對收斂則必收斂。若絕對值不收斂，考察一般項，看是否交錯級數，用萊布尼茲準則判斷。若不是交錯級數，只能通過(guò)最根本的方法判斷，即看其前n項和是否有極限，具體問(wèn)題具體分析。

比較判別法是充分必要條件，比值和根值法只是充分條件，不是必要條件。

函數項級數情況復雜，一般只研究?jì)缂墧�。阿貝爾定理揭示了冪級數的重要性質(zhì)：收斂區域存在一個(gè)收斂半徑。所以對冪級數，關(guān)鍵在于求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。

逐項求導和逐項積分不改變冪級數除端點(diǎn)外的區域的斂散性，端點(diǎn)情況復雜，需具體分析。

一個(gè)函數能展開(kāi)成冪級數的條件是：存在任意階導數。展開(kāi)后的冪級數能收斂于原來(lái)函數的條件是：余項（誤差）要隨著(zhù)項數的增加趨于零。這與泰勒展開(kāi)中的結論一致。

微分方程：不同種類(lèi)的方程有不同的常見(jiàn)解法，但理解上并無(wú)難處。

下冊（二）

定積分、二重積分、三重積分、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分、第一類(lèi)曲面積分都可以概率為一種類(lèi)型的積分，從物理意義上來(lái)理解是某個(gè)空間區域（直線(xiàn)段、平面區域、立體區域、曲線(xiàn)段、曲面區域）的質(zhì)量，其中被積元可看作區域的微小單元，被積函數則是該微小單元的密度

這些積分最終都是轉化成定積分來(lái)計算

第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的物理意義是變力做功（或速度環(huán)量），第二類(lèi)曲面積分的物理意義是流量

在研究上述七類(lèi)積分的過(guò)程中，發(fā)現其實(shí)被積函數都是空間位置點(diǎn)的函數，于是把這種以空間位置作為自變量的函數稱(chēng)為場(chǎng)函數

場(chǎng)函數有標量場(chǎng)和向量場(chǎng)，一個(gè)向量場(chǎng)相當于三個(gè)標量場(chǎng)

場(chǎng)函數在一點(diǎn)的變化情況由方向導數給出，而方向導數最大的方向，稱(chēng)為梯度方向。梯度是一個(gè)向量，任何方向的方向導數，都是梯度在這個(gè)方向上的投影，所以梯度的模是方向導數的最大值

梯度方向是函數變化最快的方向，等位面方向是函數無(wú)變化的方向，這兩者垂直

梯度實(shí)際上一個(gè)場(chǎng)函數不均勻性的量度

梯度運算把一個(gè)標量場(chǎng)變成向量場(chǎng)

一條空間曲線(xiàn)在某點(diǎn)的切向量，便是該點(diǎn)處的曲線(xiàn)微元向量，有三個(gè)分量，它建立了第一類(lèi)曲線(xiàn)積分與第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的聯(lián)系

一張空間曲面在某點(diǎn)的法向量，便是該點(diǎn)處的曲面微元向量，有三個(gè)分量，它建立了第一類(lèi)曲面積分和第二類(lèi)曲面積分的聯(lián)系

物體在一點(diǎn)處的相對體積變化率由該點(diǎn)處的速度場(chǎng)決定，其值為速度場(chǎng)的散度

散度運算把向量場(chǎng)變成標量場(chǎng)

散度為零的場(chǎng)稱(chēng)為無(wú)源場(chǎng)

高斯定理的物理意義：對散度在空間區域進(jìn)行體積分，結果應該是這個(gè)空間區域的體積變化率，同時(shí)這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應該相等。即高斯定理把一個(gè)速度場(chǎng)在邊界上的積分與速度場(chǎng)的散度在該邊界所圍的閉區域上的體積分聯(lián)系起來(lái)

無(wú)源場(chǎng)的體積變化為零，這是容易理解的，相當于既無(wú)損失又無(wú)補充

物體在一點(diǎn)處的旋轉情況由該點(diǎn)處的速度場(chǎng)決定，其值為速度場(chǎng)的旋度

旋度運算把向量場(chǎng)變成向量場(chǎng)

旋度為零的場(chǎng)稱(chēng)為無(wú)旋場(chǎng)

斯托克斯定理的物理意義：對旋度在空間曲面進(jìn)行第二類(lèi)曲面積分，結果應該表示的是這個(gè)曲面的旋轉快慢程度，同時(shí)這種旋轉也可看成是邊界上的速度環(huán)量造成的，故兩者應該相等。即斯托克斯定理把一個(gè)速度場(chǎng)在邊界上形成的環(huán)量與該邊界所圍的曲面的第二類(lèi)曲面積分聯(lián)系起來(lái)。該解釋是從速度環(huán)量的角度出發(fā)得到的，比高斯定理要難，不強求掌握。

無(wú)旋場(chǎng)的速度環(huán)量為零，這相當于一個(gè)區域沒(méi)有旋轉效應，這是容易理解的

格林定理是斯托克斯定理的平面情形

進(jìn)一步考察無(wú)旋場(chǎng)的性質(zhì)

旋度為零，相當于對旋度作的第二類(lèi)曲面積分為零——即等號后邊的第二類(lèi)曲線(xiàn)積分為零，相當于該力場(chǎng)圍繞一閉合空間曲線(xiàn)作做的功為零——即從該閉合曲線(xiàn)上任選一點(diǎn)出發(fā)，積分與路徑無(wú)關(guān)——相當于所得到的曲線(xiàn)積分結果只于終點(diǎn)的選擇有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)，可看成終點(diǎn)的函數，這是一個(gè)場(chǎng)函數（空間位置的函數），稱(chēng)為勢函數——所得的勢函數的梯度正好就是原來(lái)的力場(chǎng)——因為力場(chǎng)函數是連續的，所以勢函數有全微分

簡(jiǎn)單的概括起來(lái)就是：無(wú)旋場(chǎng)——積分與路徑無(wú)關(guān)——梯度場(chǎng)——有勢場(chǎng)——全微分

要注意以上這些說(shuō)法之間的等價(jià)性

三定理（Gauss Stokes Green）的向量形式和分量形式都要熟悉

習題解讀

基礎階段的復習是以課本為主，主要任務(wù)兩個(gè)，一是學(xué)習知識點(diǎn)（定義、定理、公式）并理解它們，二是完成一定的課后習題以檢驗自己對知識點(diǎn)的掌握程度。

很多人在學(xué)習中都容易忽視課本，覺(jué)得比起那些專(zhuān)門(mén)的參考資料，課本上的習題實(shí)際上是沒(méi)什么值得關(guān)注的，但其實(shí)不然，一套經(jīng)典的教材，它所配的習題很多都有值得我們去挖掘的地方。

那么接下來(lái)我就說(shuō)說(shuō)我對我們用的教材上課后習題的解讀，希望能給同學(xué)們提示。因為高數的題目比較多，而我感覺(jué)每章的總習題有著(zhù)更好的總結性，所以主要就說(shuō)說(shuō)總習題一到十二里我感覺(jué)值得注意的一些題目吧。

總習題一：

1是填空題，是考察與極限有關(guān)的一些概念，這個(gè)是很重要的，要掌握好。而且幾乎每章的總習題都設了填空題，均與這些章節的重要概念有關(guān)。所以每章的總習題里的填空題所涉及的知識點(diǎn)，比如誰(shuí)是誰(shuí)的什么條件之類(lèi)，務(wù)必要搞清楚。

2是無(wú)窮小的階的比較

3、4、5、6是與函數有關(guān)的題目，這個(gè)是學(xué)好高數的基礎，但卻不是高數側重的內容，熟悉即可

7用定義證明極限，較難，一般來(lái)說(shuō)能理解極限的概念就可以了

8典型題，求各種類(lèi)型極限，重要，6個(gè)小題各代表一種類(lèi)型，其實(shí)求極限的題目基本跳不出這六種框架了

9典型題，選擇合適的參數，使函數連續，用連續的定義即可

10典型題，判斷函數的間斷點(diǎn)類(lèi)型，按間斷點(diǎn)的分類(lèi)即可

11較難的極限題，這里是要用到夾逼原理，此類(lèi)題目技巧性強，體會(huì )一下即可

12證明零點(diǎn)存在的問(wèn)題，要用到連續函數介值定理，重要的證明題型之一，必需掌握

13該題目給出了漸近線(xiàn)的定義以及求法，要作為一個(gè)知識點(diǎn)來(lái)掌握，重要

綜上，第一章總習題要著(zhù)重掌握的是1、2、8、9、10、12、13題

總習題二：

1填空題，不多說(shuō)了，重點(diǎn)

2非常好的一道題目，考察了與導數有關(guān)的一些說(shuō)法，其中的干擾項（B）（C）設置的比較巧妙，因為平時(shí)我們一般只注意到導數在某點(diǎn)存在的條件是左右導數都存在且相等，容易忽視另一個(gè)重要條件：函數必須要在該點(diǎn)連續，否則何來(lái)可導？而（B）（C）項的問(wèn)題正是在于即使其中的極限存在，也不能保證函數在該點(diǎn)連續，因為根本就沒(méi)出現f(a)，所以對f(x)在a處的情況是不清楚的。而對（A）項來(lái)說(shuō)只能保證右導數存在。只有（D）項是能確實(shí)的推出可導的

3物理應用現在基本不要求了

4按定義求導數，不難，應該掌握

5常見(jiàn)題型，判斷函數在間斷點(diǎn)處的導數情況，按定義即可

6典型題，討論函數在間斷點(diǎn)處的連續性和可導性，均按定義即可

7求函數的導數，計算層面的考察，第二章學(xué)習的主要內容

8求二階導數，同上題

9求高階導數，需注意總結規律，難度稍大，體會(huì )思路即可

10求隱函數的導數，重要，�？碱}型

11求參數方程的導數，同樣是�？碱}型

12導數的幾何應用，重要題型

13、14、15不作要求

綜上，第二章總習題需重點(diǎn)掌握的題目是1、2、4、5、6、7、8、10、11、12

第三章的習題都比較難，需要多總結和體會(huì )解題思路

總習題三

1零點(diǎn)個(gè)數的討論問(wèn)題，典型題，需掌握

2又一道設置巧妙的題目，解決方法有很多，通過(guò)二階導的符號來(lái)判斷函數增量與導數、微分的大小關(guān)系，07年真題就有一道題目由此題改造而來(lái)，需重點(diǎn)體會(huì )

3舉反例，隨便找個(gè)有跳躍點(diǎn)的函數即可

4中值定理和極限的綜合應用，重要題目，主要從中體會(huì )中值定理的妙處

5零點(diǎn)問(wèn)題，可用反證法結合羅爾定理，也可正面推證，確定出函數的單調區間即可，此題非典型題

6、7、8中值定理典型題，要證明存在零點(diǎn)，可構造適當的輔助函數，再利用羅爾定理，此類(lèi)題非常重要，要細心體會(huì )解答給出的方法

9非常見(jiàn)題型，了解即可

10羅必達法則應用，重要題型，重點(diǎn)掌握

11不等式，一般可用導數推征，典型題

12、13極值及最值問(wèn)題，需要掌握，不過(guò)相對來(lái)說(shuō)多元函數的這類(lèi)問(wèn)題更重要些

14、15、16不作要求

17非常重要的一道題目，設計的很好，需要注意題目條件中并未給出f''可導，故不能連用兩次洛必達法則，只能用一次洛必達法則再用定義，這是此題的亮點(diǎn)

18無(wú)窮小的階的比較，一是可直接按定義，二是可將函數泰勒展開(kāi)，都能得到結果，此題考察的是如何判斷兩個(gè)量的階的大小，重要

19對凹凸性定義的推廣，用泰勒公式展開(kāi)到二階可較方便的解決，此題可看作泰勒公式應用的一個(gè)實(shí)例，重在體會(huì )其思想

20確定合適的常數，使得函數為給定的無(wú)窮小量，典型題，且難度不大

綜上，第三章總習題需要重點(diǎn)掌握的是1、2、4、6、7、8、10、11、12、13、17、18、20

第四章沒(méi)有什么可說(shuō)的重點(diǎn)，能做多少是多少吧……

積分的題目是做不完的。

當然，如果你以那種不破樓蘭終不還的決心和氣勢，最終把所有題目搞定了，這還是值得恭喜的，盡管可能這會(huì )花掉很多時(shí)間，但仍然是值得的……因為這有效的鍛煉了思維。

總習題五

1填空，重要，但第（2）、（3）問(wèn)涉及廣義積分，不作要求

2典型題，前3題用定積分定義求極限，需重點(diǎn)掌握，尤其是要體會(huì )如何把和式改寫(xiě)為相應的積分式，積分區間和被積函數如何定，這個(gè)是需要適當的練習才能把握好的，后2題涉及積分上限函數求導，也是常見(jiàn)題型

3分別列出三種積分計算中最可能出現的錯誤，需細心體會(huì )，重要

4利用定積分的估值證明不等式，技巧性較強

5兩個(gè)著(zhù)名不等式的積分形式，不作強制要求，了解即可

6此題證明要用5題中的柯西不等式，不作要求

7計算定積分，典型題

8證明兩個(gè)積分相等，可用一般方法，也可利用二重積分的交換積分次序，設計巧妙的重點(diǎn)題目

9同樣是利用導數證明不等式，只不過(guò)對象變得比一般函數復雜，是積分上限函數，但本質(zhì)和第三章的類(lèi)似題目無(wú)區別，不難掌握

10分段求積分，典型題

11證明積分第一中值定理，要用到連續函數的介值定理，難度高于積分中值定理的證明，可作為提高和鍛煉性質(zhì)的練習

綜上，總習題五需要重點(diǎn)掌握的題目是1、2、3、7、8、9、10

定積分的應用一塊的考察，現在更偏重的是幾何應用

1物理應用，跳過(guò)

2所涉及到的圖形較為復雜，是兩個(gè)圓，其中第二個(gè)是旋轉了一定角度的圓，不易看出，此題可作為一個(gè)提高性質(zhì)的練習

3重點(diǎn)題，積分的幾何應用和極值問(wèn)題相結合，�？碱}型之一

4旋轉體體積，需注意的是繞哪條線(xiàn)形成的旋轉體，所繞的軸不同的話(huà)，結果不同

5求弧長(cháng)，非典型題，了解即可

6、7、8均為物理應用，不作要求，有興趣的不妨一試

綜上，總習題六實(shí)際上就2、3、4題需要引起注意

第七章空間解析幾何，只對數一的同學(xué)有要求，數二三四的就直接pass吧

總習題七

1填空，向量代數的基本練習，必不可少

2、3、4、5都是平面向量幾何的題目，不太重要，不過(guò)適當練習可以培養起用向量的方式來(lái)思考問(wèn)題的習慣

7、8、9、10、11都是與向量有關(guān)的運算，包括加（減），數乘、點(diǎn)積（相應的意義是一個(gè)向量在另一個(gè)向量的投影）、兩向量的夾角、叉積（相應的意義是平行四邊形的面積），要通過(guò)這些題目熟悉向量的各種運算，重要

12用證明題的形式來(lái)考察對混合積的掌握，需掌握

13按定義寫(xiě)點(diǎn)的軌跡方程，解析幾何中的常見(jiàn)題，了解基本做法即可

14旋轉曲面相關(guān)題目，非常重要，要搞清楚繞某一軸旋轉后的旋轉曲面寫(xiě)法

15、16求平面的方程，順帶可復習平面方程的類(lèi)型，這類(lèi)問(wèn)題的解決辦法一般是先從立體幾何中考慮，想到做法再翻譯成解析幾何的語(yǔ)言，重在思路的考察，需多加練習

17求直線(xiàn)方程，同上題

18解析幾何與極值的混合問(wèn)題，也是一類(lèi)典型題

19、20考察投影曲線(xiàn)和投影面，這部分知識是多重積分計算的基礎，要重點(diǎn)掌握

21畫(huà)出曲面所圍的立體圖形，有一定難度，是對空間想象能力的鍛煉，盡量都掌握

綜上，總習題七需重點(diǎn)掌握的題目是1、7、8、9、10、11、12、14、15、16、17、18、19、20

下冊的內容有很多數二數三數四不考，因此我在解讀習題時(shí)盡量標注出是數一要求的，大家平時(shí)也多查查考綱或者翻翻計劃，這樣對于哪些考哪些不考就更清楚了。

總習題八：

1填空，很重要

2選擇，著(zhù)重考查一條說(shuō)法，偏導數存在未必可微，這個(gè)是無(wú)論數幾都需要的，還有就是偏導數的幾何應用，這個(gè)只數一要求

3基本題，求二元函數的定義域和極限，因為是初等函數，直接用“代入法”求極限就可以了

4典型題，判斷極限存在性，考察如果證明一個(gè)二元函數的極限是不存在的（常用方法是取兩條路徑）

5典型題，求偏導數，注意在連續區間內按求導法則求，在間斷點(diǎn)處只能按定義求

6求高階偏導數，到二階的題目需要熟練掌握

7微分的概念，簡(jiǎn)單題目，直接按微分和增量的定義即可

8重點(diǎn)題型，對一個(gè)二元函數，考察其在某點(diǎn)的連續性、偏導存在情況和可微性，務(wù)必熟練此類(lèi)題目

9、10、11、12復合函數求偏導的鏈式法則，重點(diǎn)題型，要多加練習的一類(lèi)題目，復合函數中哪些自變量是獨立的，哪些是不獨立的，還有各自對應關(guān)系，判斷好這些是解題的關(guān)鍵

13、14分別是極坐標和直角坐標情形下偏導數的幾何應用，數一要求

15、16方向導數相關(guān)題目，該知識點(diǎn)與第十一章聯(lián)系密切，重要，數一要求

17、18多元函數的極值問(wèn)題，典型題，且通常都是結合條件極值來(lái)考，這類(lèi)題目一定要熟練，其中08年真題中一道極值題目就是把17題中的柱面改成錐面，其它完全一樣，由此可見(jiàn)對課本要重新重視。

綜上，總習題八需要重點(diǎn)掌握的題目是1、2、4、5、6、8、9、10、11、12、13（數一）、14（數一）、15（數一）、16（數一）、17、18

第九章的內容中，二重積分以外的內容是數二三四不要求的，就不在題號后一一寫(xiě)明了

總習題九

1選擇題，實(shí)際是考察多重積分的對稱(chēng)性，屬于典型題，在多重積分的情況下，對稱(chēng)性的應用比定積分要復雜，重要，第（1）小問(wèn)是三重積分，只數一要求，第（2）小問(wèn)是二重積分

2、3基本題型，計算二重積分或者是交換二重積分的順序，需要熟練掌握

4利用交換積分次序證明等式，體會(huì )一下方法即可

5基本題型，利用極坐標計算二重積分，實(shí)際上在計算多重積分時(shí)本就要求根據不同的積分區域選擇合適的坐標系，這是一個(gè)基本能力，重要

6確定三重積分的積分區域，比較鍛煉空間想象能力的一類(lèi)題，重要

7計算三重積分，基本題型，仍然要注意區域不同，所選坐標系不同

8重積分的幾何應用，從二重積分的角度，或者從三重積分的角度都可以求解，此題要求數二三四考生也掌握

9、10、11是重積分的物理應用，不作要求

綜上，總習題九需要重點(diǎn)掌握的題目是1、2、3、5、6、7、8

第十章的內容全部針對數一

總習題十

1填空，相關(guān)知識點(diǎn)是兩類(lèi)線(xiàn)、面積分之間的聯(lián)系，重要

2選擇，考察的是第一類(lèi)曲面積分的對稱(chēng)性，與重積分的對稱(chēng)性類(lèi)同，重點(diǎn)題型。需要注意，第二類(lèi)線(xiàn)、面積分與第一類(lèi)會(huì )有所不同，因為第二類(lèi)線(xiàn)、面積分的被積元也有符號，這是和第一類(lèi)線(xiàn)、面積分的區別

3計算曲線(xiàn)積分，基本題型，需要多加練習，六個(gè)小題基本覆蓋了曲線(xiàn)積分計算題的類(lèi)型

4計算曲面積分，基本題型，要求同上題。注意在計算線(xiàn)、面積分時(shí)，方法很多，常用的有直接轉化成定積分或二重積分，或用Green公式，Guass定理，在用這兩個(gè)定理時(shí)又要注意其成立的條件是所圍區域不能有奇點(diǎn)，甚至不是閉區域要先補線(xiàn)或者補面，此類(lèi)題目一定要熟練掌握

5全微分的相關(guān)等價(jià)說(shuō)法，典型題，順帶可回顧一下與全微分有關(guān)的一系列等價(jià)命題

6、7線(xiàn)面積分的物理應用，不作要求

8證明，涉及的知識點(diǎn)多，覆蓋面廣，通過(guò)此題的練習可回憶和鞏固線(xiàn)面積分的幾乎所有知識點(diǎn)（把梯度和方向導數包括進(jìn)來(lái)了），推薦掌握

9從流量的角度出發(fā)理解第二類(lèi)曲面積分，基本題型

10用Stokes定理積分空間曲線(xiàn)積分，基本題型，01年考過(guò)

綜上，總習題十需要重點(diǎn)掌握的題目是1、2、3、4、5、8、9、10

第十一章是級數，數二數四不要求，其中傅立葉級數對數三無(wú)要求

總習題十一

1填空，涉及級數斂散性的相關(guān)說(shuō)法，重要

2判斷正項級數的收斂性，典型題，綜合應用比較、比值、根值三種方法，在用比較判別法時(shí)實(shí)際就是比較兩個(gè)通項是否同階無(wú)窮小，這樣可讓思路更清晰

3抽象級數的概念題，重點(diǎn)題型之一，要利用級數收斂的相關(guān)性質(zhì)判斷

4設置了陷阱的概念題，因為比較判別法只對正項級數成立，也是重點(diǎn)題型之一

5判斷級數的絕對收斂和條件收斂，典型題，通過(guò)這些練習來(lái)加強對這類(lèi)題目的熟練度

6利用收斂級數的通項趨于零這一說(shuō)法來(lái)判斷極限，體會(huì )方法即可

7求冪級數的收斂域，典型題，要多加練習，注意搞清楚收斂域、收斂半徑、收斂區域的區別

8求冪級數的和函數，典型題，重要，一般求和函數都不用直接法而用間接法，即通過(guò)對通項作變形（逐項積分或求導等），再利用已知的常見(jiàn)函數的展開(kāi)式得到結果，注意求出和函數不要忘記相應的收斂域。

9利用構造冪級數來(lái)求數項級數的和，也是一類(lèi)重要題型

10將函數展開(kāi)為冪級數，與8是互為反問(wèn)題，仍是多用間接展開(kāi)法，方法上異曲同工，需要熟練掌握，同樣注意不要忘記收斂域

11、12傅立葉級數的相關(guān)題目，基本題，此類(lèi)題目記得相應的系數表達式就可解決，一般來(lái)說(shuō)至少要掌握周期為pi的情形。注意傅氏級數展開(kāi)的系數公式難記，只能平時(shí)多加回顧，還有不要忽略了在非連續點(diǎn)展開(kāi)后的傅氏級數的收斂情況（即狄利赫萊收斂定理）

綜上，總習題十一需要重點(diǎn)掌握的題目是1、2、3、4、5、7、8、9、10、11