首先是知識框架：

 

線(xiàn)性代數知識點(diǎn)框架（一）

 

線(xiàn)性代數的學(xué)習切入點(diǎn)：線(xiàn)性方程組。換言之，可以把線(xiàn)性代數看作是在研究線(xiàn)性方程組這一對象的過(guò)程中建立起來(lái)的學(xué)科。

 

線(xiàn)性方程組的特點(diǎn)：方程是未知數的一次齊次式，方程組的數目s和未知數的個(gè)數n可以相同，也可以不同。

 

關(guān)于線(xiàn)性方程組的解，有三個(gè)問(wèn)題值得討論：（1）、方程組是否有解，即解的存在性問(wèn)題；（2）、方程組如何求解，有多少個(gè)解；（3）、方程組有不止一個(gè)解時(shí)，這些不同的解之間有無(wú)內在聯(lián)系，即解的結構問(wèn)題。

 

高斯消元法，最基礎和最直接的求解線(xiàn)性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變換：（1）、把某個(gè)方程的k倍加到另外一個(gè)方程上去；（2）、交換某兩個(gè)方程的位置；（3）、用某個(gè)常數k乘以某個(gè)方程。我們把這三種變換統稱(chēng)為線(xiàn)性方程組的初等變換。

 

任意的線(xiàn)性方程組都可以通過(guò)初等變換化為階梯形方程組。

 

由具體例子可看出，化為階梯形方程組后，就可以依次解出每個(gè)未知數的值，從而求得方程組的解。

 

對方程組的解起決定性作用的是未知數的系數及其相對位置，所以可以把方程組的所有系數及常數項按原來(lái)的位置提取出來(lái)，形成一張表，通過(guò)研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個(gè)數按某種方式構成的表稱(chēng)為矩陣。

 

可以用矩陣的形式來(lái)表示一個(gè)線(xiàn)性方程組，這至少在書(shū)寫(xiě)和表達上都更加簡(jiǎn)潔。

 

系數矩陣和增廣矩陣。

 

高斯消元法中對線(xiàn)性方程組的初等變換，就對應的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對應的是階梯形矩陣。換言之，任意的線(xiàn)性方程組，都可以通過(guò)對其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。

 

階梯形矩陣的特點(diǎn)：左下方的元素全為零，每一行的第一個(gè)不為零的元素稱(chēng)為該行的主元。

 

對不同的線(xiàn)性方程組的具體求解結果進(jìn)行歸納總結（有唯一解、無(wú)解、有無(wú)窮多解），再經(jīng)過(guò)嚴格證明，可得到關(guān)于線(xiàn)性方程組解的判別定理：首先是通過(guò)初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中出現0=d這一項，則方程組無(wú)解，若未出現0=d一項，則方程組有解；在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數目r等于未知量數目n，方程組有唯一解，若r<n，則方程組有無(wú)窮多解。

 

在利用初等變換得到階梯型后，還可進(jìn)一步得到最簡(jiǎn)形，使用最簡(jiǎn)形，最簡(jiǎn)形的特點(diǎn)是主元上方的元素也全為零，這對于求解未知量的值更加方便，但代價(jià)是之前需要經(jīng)過(guò)更多的初等變換。在求解過(guò)程中，選擇階梯形還是最簡(jiǎn)形，取決于個(gè)人習慣。

 

常數項全為零的線(xiàn)性方程稱(chēng)為齊次方程組，齊次方程組必有零解。

 

齊次方程組的方程組個(gè)數若小于未知量個(gè)數，則方程組一定有非零解。

 

利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問(wèn)題（1）解的存在性問(wèn)題和（2）如何求解的問(wèn)題，這是以線(xiàn)性方程組為出發(fā)點(diǎn)建立起來(lái)的最基本理論。

 

對于n個(gè)方程n個(gè)未知數的特殊情形，我們發(fā)現可以利用系數的某種組合來(lái)表示其解，這種按特定規則表示的系數組合稱(chēng)為一個(gè)線(xiàn)性方程組（或矩陣）的行列式。行列式的特點(diǎn)：有n!項，每項的符號由角標排列的逆序數決定，是一個(gè)數。

 

通過(guò)對行列式進(jìn)行研究，得到了行列式具有的一些性質(zhì)（如交換某兩行其值反號、有兩行對應成比例其值為零、可按行展開(kāi)等等），這些性質(zhì)都有助于我們更方便的計算行列式。

 

用系數行列式可以判斷n個(gè)方程的n元線(xiàn)性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則。

 

總而言之，可把行列式看作是為了研究方程數目與未知量數目相等的特殊情形時(shí)引出的一部分內容。

 

 

線(xiàn)性代數知識點(diǎn)框架（二）

 

在利用高斯消元法求解線(xiàn)性方程組的過(guò)程中，涉及到一種重要的運算，即把某一行的倍數加到另一行上，也就是說(shuō)，為了研究從線(xiàn)性方程組的系數和常數項判斷它有沒(méi)有解，有多少解的問(wèn)題，需要定義這樣的運算，這提示我們可以把問(wèn)題轉為直接研究這種對n元有序數組的數量乘法和加法運算。

 

數域上的n元有序數組稱(chēng)為n維向量。設向量a=(a1,a2,...,an)，稱(chēng)ai是a的第i個(gè)分量。

 

n元有序數組寫(xiě)成一行，稱(chēng)為行向量，同時(shí)它也可以寫(xiě)為一列，稱(chēng)為列向量。要注意的是，行向量和列向量沒(méi)有本質(zhì)區別，只是元素的寫(xiě)法不同。

 

矩陣與向量通過(guò)行向量組和列向量組相聯(lián)系。

 

對給定的向量組，可以定義它的一個(gè)線(xiàn)性組合。線(xiàn)性表出定義的是一個(gè)向量和另外一組向量之間的相互關(guān)系。

 

利用矩陣的列向量組，我們可以把一個(gè)線(xiàn)性方程組有沒(méi)有解的問(wèn)題轉化為一個(gè)向量能否由另外一組向量線(xiàn)性表出的問(wèn)題。同時(shí)要注意這個(gè)結論的雙向作用。

 

從簡(jiǎn)單例子（如幾何空間中的三個(gè)向量）可以看到，如果一個(gè)向量a1能由另外兩個(gè)向量a2、a3線(xiàn)性表出，則這三個(gè)向量共面，反之則不共面。為了研究向量個(gè)數更多時(shí)的類(lèi)似情況，我們把上述兩種對向量組的描述進(jìn)行推廣，便可得到線(xiàn)性相關(guān)和線(xiàn)性無(wú)關(guān)的定義。

 

通過(guò)一些簡(jiǎn)單例子體會(huì )線(xiàn)性相關(guān)和線(xiàn)性無(wú)關(guān)（零向量一定線(xiàn)性無(wú)關(guān)、單個(gè)非零向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)、單位向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)等等）。

 

從多個(gè)角度（線(xiàn)性組合角度、線(xiàn)性表出角度、齊次線(xiàn)性方程組角度）體會(huì )線(xiàn)性相關(guān)和線(xiàn)性無(wú)關(guān)的本質(zhì)。

 

部分組線(xiàn)性相關(guān)，整個(gè)向量組線(xiàn)性相關(guān)。向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，延伸組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

 

回到線(xiàn)性方程組的解的問(wèn)題，即一個(gè)向量b在什么情況下能由另一個(gè)向量組a1,a2,...,an線(xiàn)性表出？如果這個(gè)向量組本身是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，可通過(guò)分析立即得到答案：b, a1, a2, ..., an線(xiàn)性相關(guān)。如果這個(gè)向量組本身是線(xiàn)性相關(guān)的，則需進(jìn)一步探討。

 

任意一個(gè)向量組，都可以通過(guò)依次減少這個(gè)向量組中向量的個(gè)數找到它的一個(gè)部分組，這個(gè)部分組的特點(diǎn)是：本身線(xiàn)性無(wú)關(guān)，從向量組的其余向量中任取一個(gè)進(jìn)去，得到的新的向量組都線(xiàn)性相關(guān)，我們把這種部分組稱(chēng)作一個(gè)向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組。

 

如果一個(gè)向量組A中的每個(gè)向量都能被另一個(gè)向量組B線(xiàn)性表出，則稱(chēng)A能被B線(xiàn)性表出。如果A和B能互相線(xiàn)性表出，稱(chēng)A和B等價(jià)。

 

一個(gè)向量組可能又不止一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，但可以確定的是，向量組和它的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組等價(jià)，同時(shí)由等價(jià)的傳遞性可知，任意兩個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組等價(jià)。

 

注意到一個(gè)重要事實(shí)：一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組不能被個(gè)數比它更少的向量組線(xiàn)性表出。這是不難理解的，例如不共面的三個(gè)向量（對應線(xiàn)性無(wú)關(guān)）的確不可能由平面內的兩個(gè)向量組成的向量組線(xiàn)性表出。

 

一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數相等，我們將這個(gè)數目r稱(chēng)為向量組的秩。

 

向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是它的秩等于它所含向量的數目。等價(jià)的向量組有相同的秩。

 

有了秩的概念以后，我們可以把線(xiàn)性相關(guān)的向量組用它的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組來(lái)替換掉，從而得到線(xiàn)性方程組的有解的充分必要條件：若系數矩陣的列向量組的秩和增廣矩陣的列向量組的秩相等，則有解，若不等，則無(wú)解。

 

向量組的秩是一個(gè)自然數，由這個(gè)自然數就可以判斷向量組是線(xiàn)性相關(guān)還是線(xiàn)性無(wú)關(guān)，由此可見(jiàn)，秩是一個(gè)非常深刻而重要的概念，故有必要進(jìn)一步研究向量組的秩的計算方法。

線(xiàn)性代數知識點(diǎn)框架（三）

 

為了求向量組的秩，我們來(lái)考慮矩陣。矩陣的列向量組的秩稱(chēng)為矩陣的列秩，行向量組的秩稱(chēng)為行秩。

 

對階梯形矩陣進(jìn)行考察，發(fā)現階梯形矩陣的行秩等于列秩，并且都等于階梯形的非零行的數目，并且主元所在的列構成列向量組的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組。

 

矩陣的初等行變換不會(huì )改變矩陣的行秩，也不會(huì )改變矩陣的列秩。

 

任取一個(gè)矩陣A，通過(guò)初等行變換將其化成階梯形J，則有：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩，即對任意一個(gè)矩陣來(lái)說(shuō)，其行秩和列秩相等，我們統稱(chēng)為矩陣的秩。

 

通過(guò)初等行變換化矩陣為階梯形，即是一種求矩陣列向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的方法。

 

考慮到A的行秩和A的轉置的列秩的等同性，則初等列變換也不會(huì )改變矩陣的秩�？偠�言之，初等變換不會(huì )改變矩陣的秩。因此如果只需要求矩陣A的秩，而不需要求A的列向量組的極大無(wú)關(guān)組時(shí)，可以對A既作初等行變換，又作初等列變換，這會(huì )給計算帶來(lái)方便。

 

矩陣的秩，同時(shí)又可定義為不為零的子式的最高階數。

 

滿(mǎn)秩矩陣的行列式不等于零。非滿(mǎn)秩矩陣的行列式必為零。

 

既然矩陣的秩和矩陣的列秩相同，則可以把線(xiàn)性方程組有解的充分必要條件更加簡(jiǎn)單的表達如下：系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩。另外，有唯一解和有無(wú)窮多解的條件也可從秩的角度給出回答：系數矩陣的秩r等于未知量數目n，有唯一解，r<n，有無(wú)窮多解。

 

齊次線(xiàn)性方程組的解的結構問(wèn)題，可以用基礎解系來(lái)表示。當齊次線(xiàn)性方程組有非零解時(shí)，基礎解系所含向量個(gè)數等于n-r，用基礎解系表示的方程組的解的集合稱(chēng)為通解。

 

通過(guò)對具體實(shí)例進(jìn)行分析，可以看到求基礎解系的方法還是在于用初等行變換化階梯形。

 

非齊次線(xiàn)性方程組的解的結構，是由對應的齊次通解加上一個(gè)特解。

 

 

線(xiàn)性代數知識點(diǎn)框架（四）

 

在之前研究線(xiàn)性方程組的解的過(guò)程當中，注意到矩陣及其秩有著(zhù)重要的地位和應用，故還有必要對矩陣及其運算進(jìn)行專(zhuān)門(mén)探討。

 

矩陣的加法和數乘，與向量的運算類(lèi)同。

 

矩陣的另外一個(gè)重要應用：線(xiàn)性變換（最典型例子是旋轉變換）。即可以把一個(gè)矩陣看作是一種線(xiàn)性變換在數學(xué)上的表述。

 

矩陣的乘法，反映的是線(xiàn)性變換的疊加。如矩陣A對應的是旋轉一個(gè)角度a，矩陣B對應的是旋轉一個(gè)角度b，則矩陣AB對應的是旋轉一個(gè)角度a+b。

 

矩陣乘法的特點(diǎn)：若C=AB，則C的第i行、第j列的元素是A的第i行與B的第j列的元素對應乘積之和；A的列數要和B的行數相同；C的行數是A的行數，列數是B的列數。需要主義的是矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律，滿(mǎn)足結合律。

 

利用矩陣乘積的寫(xiě)法，線(xiàn)性方程組可更簡(jiǎn)單的表示為：Ax=b。

 

對于C=AB，還可作如下分析：將左邊的矩陣A寫(xiě)成列向量組的形式，即意味著(zhù)C的列向量組能由A的列向量組表示，從而推知C的列秩小于等于A的列秩；將右邊的矩陣B寫(xiě)成行向量組的形式，即意味著(zhù)C的行向量組能由B的行向量組表示，從而推知C的行秩小于等于B的行秩，再考慮到矩陣的行秩等于列秩等于矩陣的秩，最終可得到結論，C的秩小于等于A的秩，也小于等于B的秩，即矩陣乘積的秩總不超過(guò)任一個(gè)因子的秩。

 

關(guān)于矩陣乘積的另外一個(gè)重要結論：矩陣乘積的行列式等于各因子的行列式的乘積。

 

一些特殊的矩陣：?jiǎn)挝魂�、對角陣、初等矩陣。尤其要注意，初等矩陣是單位陣�?jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣。

 

每一個(gè)初等矩陣對應一個(gè)初等變換，因為左乘的形式為PA（P為初等矩陣），將A寫(xiě)成行向量組的形式，PA意味著(zhù)對A做了一次初等行變換；同理，AP意味著(zhù)對A做了一次初等列變換，故左乘對應行變換，右乘對應列變換。

 

若AB=E，則稱(chēng)A為可逆矩陣，B是A的逆陣，同樣，這時(shí)的B也是可逆矩陣，注意可逆矩陣一定是方陣。

 

第一種求逆陣的方法：伴隨陣。這種方法的理論依據是行列式的按行（列）展開(kāi)。

 

矩陣可逆，行列式不為零，行（列）向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，滿(mǎn)秩，要注意這些結論之間的充分必要性。

 

單位陣和初等矩陣都是可逆的。

 

若矩陣可逆，則一定可以通過(guò)初等變換化為單位陣，這是不難理解的，因為初等矩陣滿(mǎn)秩，故最后化成的階梯型（最簡(jiǎn)形）中非零行數目等于行數，主元數目等于列數，這即是單位陣。進(jìn)一步，既然可逆矩陣可以通過(guò)初等變換化為單位陣，而初等變換對應的是初等矩陣，即意味著(zhù)：可逆矩陣可以通過(guò)左（右）乘一系列初等矩陣化為單位陣，換言之可逆矩陣可看作是一系列初等矩陣的乘積，因為單位陣在乘積中可略去。

 

可逆矩陣作為因子不會(huì )改變被乘（無(wú)論左乘右乘）的矩陣的秩。

 

由于可逆矩陣可以看作是一系列初等矩陣的乘積，可以想象，同樣的這一系列初等矩陣作用在單位陣上，結果是將這個(gè)單位陣變?yōu)樵瓉?lái)矩陣的逆陣，由此引出求逆陣的第二種方法：初等變換。需要注意的是這個(gè)過(guò)程中不能混用行列變換，且同樣是左乘對應行變換，右乘對應列變換。

 

矩陣分塊，即可把矩陣中的某些行和列的元素看作一個(gè)整體，對這些被看作是整體的對象構成的新的矩陣，運算法則仍然適用。將矩陣看成一些列行向量組或列向量組的形式，實(shí)際也就是一種最常見(jiàn)的對矩陣進(jìn)行分塊的方式。

 

 

接下來(lái)是習題解讀

 

同濟五版《線(xiàn)性代數》習題解讀（一）

 

1、利用對角線(xiàn)法則計算行列式，可以通過(guò)幾道小題熟悉一下把行列式化成上（下）三角的過(guò)程，基本題。

 

2、3題涉及排列以及行列式的展開(kāi)準則，不是太重要，了解即可。

 

4、5、6題是一些計算行列式的練習，不同特點(diǎn)的行列式通常有不同的方法，常見(jiàn)的就是化為上（下）三角，按行（列）展開(kāi)，某一行（列）是和的形式可進(jìn)行拆分，基本題，要通過(guò)這些練習來(lái)熟練行列式的運算這一塊。5題雖然是以方程形式給出，但考察點(diǎn)還是計算。

 

7、行列式性質(zhì)的應用，比較重要的題型，重在對思維的訓練，而且該題的結論很常用，最好掌握。

 

8、一些難度較高的行列式的計算題，涉及到不少技巧，而這些技巧通常初學(xué)者是想不到的，這時(shí)候可以看看答案，體會(huì )一下答案的做法，對這塊內容的要求和不定積分是類(lèi)似的。

 

9、設計巧妙的題目，隱含考點(diǎn)是行列式按行展開(kāi)的性質(zhì)：若是相同行（列）的元素和代數余子式對應相乘求和，結果是行列式的值；若是不同行（列）的元素和代數余子式對應相乘求和，結果為0。注意此題要求的結果是第三行的代數余子式的某種組合，而根據代數余子式的定義可知，這與題給的行列式中的第三行的元素是無(wú)關(guān)的，那就可以根據需要把第三行的元素替換為前面要求的式子中的那些系數，這樣問(wèn)題就簡(jiǎn)化為求一個(gè)新的行列式，而無(wú)需煩瑣的進(jìn)行四次求代數余子式的運算。此題技巧性較強，但這個(gè)構思方法值得掌握。

 

10、克蘭姆法則的應用，歸根結底還是計算行列式。

 

11、12題是通過(guò)行列式來(lái)判斷齊次方程組的解的情況，基本題，在已經(jīng)復習完一遍線(xiàn)代后也可以用其它方法（化階梯行、求秩）來(lái)做。

 

總的來(lái)說(shuō)，第一章的習題大都非�；�本，集中于計算層面的考察，沒(méi)有理解上的難度。

 

 

 

同濟五版《線(xiàn)性代數》習題解讀（二）

 

1 、矩陣乘法的基本練習，簡(jiǎn)單題，但計算很容易出錯，不可輕視，（5）小題實(shí)際上就是第五章要接觸的二次型。

 

2、直接考察矩陣相關(guān)運算，基本題。

 

3、矩陣的乘法實(shí)際上是表示一個(gè)線(xiàn)性變換，題目給出了從y到x的變換，還給出了從z到y的變換，要求z到x的變換。既然一個(gè)矩陣可以表示一個(gè)線(xiàn)性變換，兩個(gè)矩陣的乘積即可理解為兩個(gè)變換的疊加，這也是提供了一個(gè)側面去理解矩陣相乘的意義。

 

4、5題實(shí)際上都是通過(guò)一些具體的例子來(lái)加深對矩陣運算的理解，比如矩陣乘法不能交換、不能像數乘那樣約去因子，等等，這些例子是比較重要的，因為有時(shí)能在考場(chǎng)上派上用場(chǎng)，需要熟悉。

 

6、7題是求矩陣乘方的題目，基本題，但要注意些適當的技巧，比如拆成兩個(gè)特殊矩陣的和，能簡(jiǎn)化運算。

 

8、9是關(guān)于對稱(chēng)陣概念的考查，不難但重要，因為這類(lèi)題即是線(xiàn)代里證明題的代表：幾乎都要從定義出發(fā)證明。所以從這兩道題得到的啟發(fā)是要把線(xiàn)代上的每個(gè)知識點(diǎn)都摳得足夠細，了然于心。

 

10、11、12都是矩陣求逆的計算題，只不過(guò)表達方式不同，10題是直接提出要求，11題是以矩陣方程的形式來(lái)暗示求逆，12題則從線(xiàn)性方程組的角度來(lái)暗示求逆。求逆是錯誤率很高的一類(lèi)題目，所以需要重點(diǎn)練習。

 

13、和3題類(lèi)似，矩陣的乘法實(shí)際上是表示一個(gè)線(xiàn)性變換，題目給出了從y到x的變換——可以用一個(gè)矩陣表示，反過(guò)來(lái)求x到y的變換，求逆陣即可。此題的另外一個(gè)暗示：要能夠熟練的掌握從方程組到矩陣的寫(xiě)法，即矩陣方程x=Ay代表一個(gè)線(xiàn)性方程組，或者說(shuō)一個(gè)線(xiàn)性變換，對這兩種寫(xiě)法都要能夠看到一個(gè)馬上反應到另一個(gè)。

 

14、考察矩陣和其逆陣、伴隨陣的關(guān)系，同時(shí)把行列式加進(jìn)來(lái)，綜合性較強的重要題型。

 

15、16解簡(jiǎn)單的矩陣方程，注意先對已知等式做一些適當的變形，基本題。

 

14、15證明矩陣可逆，從定義出發(fā)即可，注意從題目中體會(huì )思路。

 

16、考察矩陣和其逆陣、伴隨陣的關(guān)系，同時(shí)把行列式加進(jìn)來(lái)，綜合性較強的重要題型。

 

17、18稍微復雜一些的矩陣方程，因為其中涉及到伴隨陣，但也不難，利用好伴隨陣和逆陣的關(guān)系即可簡(jiǎn)化，此二題的難度接近考研中的填空題。

 

19、20是矩陣的乘方（多項式實(shí)質(zhì)也是乘方）運算，在復習完一遍線(xiàn)代后再看發(fā)現這其實(shí)就是特征值特征向量（對角化）的一個(gè)應用，實(shí)際上特征值問(wèn)題本來(lái)就可以理解為是為了尋找矩陣乘方運算的捷徑而發(fā)展起來(lái)的，只不過(guò)后來(lái)發(fā)現特征值還有許多其它很好的用處。

 

21、22證明矩陣可逆，從可逆的定義出發(fā)即可，即若能找到某一矩陣與已知矩陣的乘積為單位陣，那么已知矩陣肯定可逆，注意從這兩道題目中體會(huì )這種常用的思路。

 

23、24題本身的證明是從定義出發(fā)，更重要的是這兩道題可以作為結論記的，線(xiàn)代的考研題目常涉及這兩個(gè)命題。在線(xiàn)代的學(xué)習中，把握好一些不是課本上正面給出（如出現于習題中）的命題是很有好處的。

 

25、26、27、28都是對分塊矩陣運算的考查，作為適當的練習，是必要的。在分塊矩陣這部分知識點(diǎn)特別要注意的是：要能夠根據問(wèn)題的需要采取適當的分塊方式，典型的如行分塊和列分塊，一個(gè)線(xiàn)性方程組可以用矩陣Ax=b來(lái)表示，一個(gè)矩陣方程AX=B則可看作是若干個(gè)線(xiàn)性方程組A(x1 x2 ... xn)=(b1 b2 ... bn)同時(shí)成立的結果，當然這只是一個(gè)典型的里子，其它還有很多類(lèi)似的點(diǎn)也要熟練到能夠在頭腦中隨時(shí)切換，以適應不同的解題或理解需要。

 

和第一章類(lèi)似，第二章的學(xué)習也主要集中在計算層面上，我們可以這樣來(lái)理解，前兩章的內容主要是教會(huì )我們一些線(xiàn)性代數中基本的運算規則，就如我們以前學(xué)數的加減乘除一樣，這些規則當然是認為規定的，但是又是在解決某些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中會(huì )大量用到的，所以有必要先統一進(jìn)行了解和學(xué)習，比如求行列式可以幫助我們解方程，求矩陣的乘積可以幫助我們進(jìn)行坐標變換，等等。

 

同濟五版《線(xiàn)性代數》習題解讀（三）

 

1、用初等變換把矩陣化為最簡(jiǎn)行階梯形，基本運算的練習，實(shí)際上也可以化為階梯行而不一定非要最簡(jiǎn)，這類(lèi)計算要多加練習，需純熟掌握。

 

2、3表面上是要求一個(gè)能使已知矩陣化為行最簡(jiǎn)形的可逆陣，實(shí)際上是考察初等矩陣，因為化為行最簡(jiǎn)形的過(guò)程就是初等變換過(guò)程，對應的是一系列初等矩陣的乘積，把這一過(guò)程搞清楚了，要求的矩陣也就相應清楚了。要知道一個(gè)初等矩陣對應一個(gè)初等變換，其逆陣也是，從這個(gè)意義上去理解可以有效解決很多問(wèn)題。

 

4、求矩陣的逆陣的第二種方法（第一種是伴隨陣），基本題，同時(shí)建議把這兩種方法的來(lái)龍去脈搞清楚（書(shū)上相應章節有解釋?zhuān)�，即為什么可以通過(guò)這兩種方法求逆陣。

 

5、6是解矩陣方程，關(guān)鍵還是求逆，復習過(guò)一遍線(xiàn)代的同學(xué)就不用拘泥于一種方法了，選擇自己習慣的做法即可。

 

7、考察矩陣秩的概念，所以矩陣的秩一定要搞清楚：是不為零的子式的最高階數。所以秩為r的話(huà)只需要有一個(gè)不為零的r階子式，但所有的r+1階子式都為零；至于r-1階子式，也是有可能為零的，但不可能所有的都為零，否則秩就是r-1而不是r了。

 

8、還是涉及矩陣的秩，矩陣減少一行，秩最多減1，也可能不減，不難理解，但自己一定要在頭腦中把這個(gè)過(guò)程想清楚。

 

9、主要考查矩陣的秩和行（列）向量組的秩的關(guān)系，實(shí)際上它們是一致的，因為已經(jīng)知道的兩個(gè)向量是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，這樣此題就轉化為一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題：在找兩個(gè)行向量，與條件中的兩個(gè)行向量組成的向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，最后由于要求方陣，所以還要找一個(gè)向量，與前面四個(gè)向量組和在一起則線(xiàn)性相關(guān)，最容易想到的就是0向量了。

 

10、矩陣的秩是一個(gè)重要而深刻的概念，它能夠反映一個(gè)矩陣的最主要信息，所以如何求矩陣的秩也就相應的是一類(lèi)重要問(wèn)題。矩陣的初等行（列）變換都不會(huì )改變其秩，所以可以混用行、列變化把矩陣化為最簡(jiǎn)形來(lái)求出秩。

 

11題是一個(gè)重要命題，經(jīng)�？梢灾苯幽脕�(lái)用，至于它本身的證明，可以從等價(jià)的定義出發(fā)：等價(jià)是指兩個(gè)矩陣可以經(jīng)過(guò)初等變換互相得到，而初等變換是不改變矩陣的秩的，所以等價(jià)則秩必相等。實(shí)際上11題因為太過(guò)常用，以至于我們常常認為秩相等才是等價(jià)的定義，不過(guò)既然是充分必要條件，這樣理解也并無(wú)不可。

 

12、選取合適的參數值來(lái)確定矩陣的秩，方法不止一種，題目不難但比較典型。

 

13、14題是求解齊次、非齊次方程組的典型練習，務(wù)必熟練掌握。

 

15、線(xiàn)性方程組的逆問(wèn)題，即已知解要求寫(xiě)出方程，把矩陣的系數看做未知數來(lái)反推即可，因為基礎解系中自由未知量的個(gè)數和有效方程正好是對應的，個(gè)人感覺(jué)這類(lèi)題不太重要。

 

16、17、18題是線(xiàn)性方程組的一類(lèi)典型題，考研常見(jiàn)題型，討論不同參數取值時(shí)解的情況，要熟練掌握這類(lèi)題目。

 

19、證明本身不是很重要，重要的是由題目得到的啟示：由一個(gè)向量及其轉置（或一個(gè)列向量一個(gè)行向量）生成的矩陣其秩一定是1。這實(shí)際上也不難理解，矩陣的秩是1意味著(zhù)每行（或每列）都對應成比例，即可以寫(xiě)成某一列向量乘行向量的形式，列向量的元素就是每行的比例系數，反過(guò)來(lái)也一樣，這個(gè)大家可自行寫(xiě)一些具體的例子驗證，加深印象。另外值得注意的是：列向量乘行向量生成的是矩陣，而行向量乘列向量生成的是數。

 

20、考察的是矩陣的運算對矩陣秩的影響，抓住R(AB)<=min(R(A),R(B))這個(gè)關(guān)鍵命題即可�；蛘邚耐�解方程組角度出發(fā)，即要證明兩個(gè)矩陣秩相等，可證其方程組同解。

 

21、注意A是否可逆未知，故不能用求逆的方法證明，這是易犯的錯誤之一。實(shí)際上該題考察的還是方程組只有零解的條件：滿(mǎn)秩。關(guān)鍵一步在于把條件改寫(xiě)為A(X-Y)=0

 

前兩章的習題以鍛煉計算能力為主，從第三章開(kāi)始理解層面的內容逐漸增多，很多概念要引起重視。

 

同濟五版《線(xiàn)性代數》習題解讀（四）

 

首先說(shuō)一下，第四章的精華就在于勾勒出了向量組、矩陣和線(xiàn)性方程組之間的關(guān)系，它們共同形成一個(gè)線(xiàn)性代數的知識網(wǎng)絡(luò )，習題四中的證明題基本上都是對思維的鍛煉，做好這些證明題有助于加深對線(xiàn)代知識點(diǎn)相互關(guān)系的理解，要重點(diǎn)對待。

 

1、涉及一個(gè)重要的知識轉換，即一個(gè)向量能否被另一個(gè)向量組線(xiàn)性表出的問(wèn)題實(shí)際上就是一個(gè)線(xiàn)性方程組是否有解的問(wèn)題，同時(shí)，一個(gè)向量組是否能被另一個(gè)向量組線(xiàn)性表出的問(wèn)題實(shí)際上就是兩個(gè)向量組的秩的比較問(wèn)題，所以此題即轉化為考察兩個(gè)向量組的秩的大小。因為我們知道一個(gè)重要的事實(shí)：一個(gè)向量組不可能由比它秩更小的向量組來(lái)線(xiàn)性表出，例如，三維空間里的向量（秩是3）永遠不可能由平面上的向量（秩是2）來(lái)表出。

 

2、考察向量組的等價(jià)，搞清楚何為向量組等價(jià)，直接驗證即可，基本題。另外可以發(fā)散一下思維，向量組等價(jià)和矩陣等價(jià)有何不同？哪個(gè)命題的結論更強？實(shí)際上向量組等價(jià)則對應矩陣一定等價(jià)，反之未必。

 

3、與線(xiàn)性表出有關(guān)的命題，一般用反證法，這類(lèi)題目可以有效的鍛煉解題思路，如果不會(huì )要重點(diǎn)體會(huì )答案給出的方法和思路。

 

4、5題涉及線(xiàn)性相關(guān)和線(xiàn)性無(wú)關(guān)的判斷，實(shí)際上還是轉化為方程組有解無(wú)解的問(wèn)題，基本題。

 

6題考察對兩個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)的理解，實(shí)際上就是對應成比例，但實(shí)際上很多類(lèi)似的題目不僅僅局限于兩個(gè)向量，此題不是太有代表性，了解一下即可。

 

7、8涉及到一些相關(guān)和無(wú)關(guān)的命題判斷，重點(diǎn)在于理解題干的意思，如8（1）的錯誤在于放大了線(xiàn)性相關(guān)的結論，因為線(xiàn)性相關(guān)只需要至少有一個(gè)向量可由其余向量表示，而不一定能確定到底是哪個(gè)向量能用其余向量表示，類(lèi)似的去理解清楚其余幾個(gè)說(shuō)法要表達的意思，這是第一要務(wù)。至于反例倒在其次，可以通過(guò)參考書(shū)的答案看看，了解下有這樣的反例即可。

 

9、10題是證明線(xiàn)性相關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的經(jīng)典題，可先假設其線(xiàn)性組合為零，然后推證系數的情況，若系數可不全為零則線(xiàn)性相關(guān)，若系數必須全為零則線(xiàn)性無(wú)關(guān)，重點(diǎn)題型。

 

11、12考察如何求一個(gè)向量組的秩和最大無(wú)關(guān)組，注意求向量組的秩只能用一種變換（一般用行變化），化為階梯形即一目了然，基本題型的練習，要熟練掌握。

 

13、通過(guò)秩來(lái)確定參數，基本題，只不過(guò)這里是以向量組的形式給出條件，和以線(xiàn)性方程組、矩陣的形式給出條件無(wú)本質(zhì)區別。

 

14、15是向量組的命題，注意單位坐標向量的特殊性：線(xiàn)性無(wú)關(guān)。另外14題就是15題的特殊情況。

 

16、用反證法，此題的巧妙之處在于要逐步遞推，這是線(xiàn)代習題中少有的過(guò)程比結論重要的題目（大多習題都是結論常用所以顯得更重要），注意仔細體會(huì )證明過(guò)程。

 

17、就是習題三的20題，只不過(guò)是以向量組的說(shuō)法給出。

 

18、應該從此題中體會(huì )到的是：兩個(gè)向量組等價(jià)，則其關(guān)系矩陣一定是滿(mǎn)秩的，原因可用矩陣的語(yǔ)言來(lái)解釋?zhuān)簝蓚�(gè)向量組等價(jià)實(shí)際上就是通過(guò)一系列初等變換可互化，關(guān)系矩陣就是這些所所有初等變換對應的初等矩陣的乘積，初等矩陣全部都是滿(mǎn)秩的。

 

19、題目本身不難，直接代入已知條件再作適當的變形即可，但復習過(guò)一遍線(xiàn)代的同學(xué)應該注意到，特征值與特征向量的一些概念在此題中已經(jīng)初現端倪，要把思路拓寬，看看從特征向量的角度來(lái)看是否能對題目有新的體會(huì )。

 

20、齊次線(xiàn)性方程組的練習，基本題型，必需的練習，尤其是（3）這類(lèi)系數由通式給出的方程，在考研中出現的概率更高，注意不要出錯。

 

21、實(shí)際上轉化為線(xiàn)性方程組的題目，也是基本題型。

 

22、就是習題三的15題，兩者無(wú)本質(zhì)區別。

 

23、基本題，求方程組的基礎解系，另外注意公共解實(shí)際上就是方程組聯(lián)立后的結果。

 

24、題目涉及的重要命題有兩個(gè)，一是：若AB=0，則R(A)+R(B)<=0；另一個(gè)是：R(A)+R(B)>=R(A+B)。至于證明本身，只是這兩個(gè)命題在某種特殊情況下的綜合應用，解答過(guò)程給我們的提示相對來(lái)說(shuō)是更重要的。

 

25、與伴隨陣的秩有關(guān)的著(zhù)名命題，常用結論，一定要掌握。證明過(guò)程很多參考資料都給出了。

 

26、非齊次線(xiàn)性方程組的練習，基本題型。

 

27、考察線(xiàn)性方程組的解的結構，較好的融合了該部分的相關(guān)知識點(diǎn)，通過(guò)此題的練習可以加深解的結構相關(guān)概念的理解。

 

28、討論參數取值對方程組的解的影響，基本題，以向量組的語(yǔ)言給出而已。

 

29、把線(xiàn)性方程組和空間解析幾何的知識點(diǎn)相結合的一道題目，可以作為一個(gè)提高練習，不強求掌握。

 

30、以抽象的向量形式給出線(xiàn)性方程組的問(wèn)題，考研典型題之一，解決此題需要綜合應用線(xiàn)性方程組和向量組的若干知識點(diǎn)，重點(diǎn)掌握和理解的對象。

 

31、32、33都是涉及解的結構的證明題，其中對基礎解系的理解要清晰：基礎解系是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，同時(shí)所有的解都可由基礎解系表示，由此可見(jiàn)基礎解系本身就給出了許多強有力的信息，這個(gè)在題目中一定要多加利用。同時(shí)還有一些解的結構的命題，如非次方程解的差即齊次方程解，等等，也可以通過(guò)這幾道練習中來(lái)加強理解和掌握。

 

34及以后的向量空間的題目都不作要求，最多是40題的過(guò)渡矩陣了解一下即可，具體解法可參加書(shū)上例題，這里不再詳述。

 

通過(guò)三、四章的學(xué)習和練習，我們體會(huì )到，要學(xué)好線(xiàn)代，需要建立起良好的思維習慣，即面對線(xiàn)性代數的知識點(diǎn)，常常需要從不同的角度（方程組角度、向量組角度和矩陣角度）去理解同一個(gè)數學(xué)事實(shí)或數學(xué)命題，并且它們通常還是可以互推的，所以在線(xiàn)代里，“見(jiàn)一反三”非常重要，一旦抓住了整個(gè)知識網(wǎng)絡(luò )，線(xiàn)代就會(huì )成為考研數學(xué)里最簡(jiǎn)單的一環(huán)。

 

 

同濟五版《線(xiàn)性代數》習題解讀（五）

 

1、涉及與正交相關(guān)的條件的基本計算題，可作為運算方面的練習。

 

2、施密特正交化的計算，很重要的基本題，要注意的是施密特正交化的計算公式難于記憶，最好是把正交化的整個(gè)過(guò)程搞清楚，也就是說(shuō)：給你一組向量，你要把它們化成正交的，怎么做？可以先考慮簡(jiǎn)單情形，兩個(gè)向量怎么正交化？很簡(jiǎn)單，只要一個(gè)向量減去它在另外一個(gè)上的投影就可以了。那三個(gè)向量怎么正交化？先把其中兩個(gè)正交化，然后第三個(gè)減去它在另外兩個(gè)的平面上的投影就好了。依次類(lèi)推，就不難理解施密特正交化中每個(gè)公式的意義了。

 

3、判斷矩陣是不是正交陣，按定義即可，基本題。

 

4、5是簡(jiǎn)單的涉及正交矩陣概念的證明題，從定義出發(fā)，都不難得到結論。

 

6、求特征值和特征向量的基本題型，需要練習純熟。

 

7、證明特征值相同，按特征值定義即可，此命題可作為結論用。

 

8、較難的一道題，把線(xiàn)代里幾個(gè)重要的知識點(diǎn)都綜合在一起考察，關(guān)鍵在于問(wèn)題的轉化：有公共的特征向量問(wèn)題即兩個(gè)方程組有公共解的問(wèn)題，然后用與方程組的基礎解系有關(guān)的知識點(diǎn)解決，要重點(diǎn)體會(huì )解題思路。

 

9、10、11都是與特征值有關(guān)的一些命題，從定義出發(fā)不難證明，線(xiàn)代里的概念大多都要從定義上去抓住它們，把它們理解好。其中10題是一個(gè)常用的結論。

 

12、13是特征值性質(zhì)的應用，即特征值與矩陣特有的對應關(guān)系，比如矩陣作多項式運算，則其特征值也就該多項式規律變化，基本題，也是常見(jiàn)題型。

 

14、考察相似的概念，仍然是要把握好定義，何為相似？

 

15、16題涉及到相似對角化，這就要求把相似對角化的條件搞清楚，那么什么樣的矩陣可相似對角化？條件是特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)，從這點(diǎn)出發(fā)就可以解決問(wèn)題。至于16（1）則是特征值特征向量定義的直接考察。

 

17、18涉及到求矩陣的乘方，實(shí)際上特征值特征向量問(wèn)題就可以看作是為了簡(jiǎn)化矩陣乘方運算提出的，這里自然是化為對角陣以后計算，18題是應用題形式。

 

19、20題涉及正交的相似變換矩陣，基本題，計算量較大且容易出錯，是值得重視的練習。

 

21、22、23題則是特征值問(wèn)題的反問(wèn)題，實(shí)際上把已知的對角矩陣看作出發(fā)點(diǎn)即可。值得注意的是：對一般矩陣來(lái)說(shuō)，不同的特征值對應的特征向量是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的；對對稱(chēng)矩陣來(lái)說(shuō)，不同的特征值對應的特征向量不僅線(xiàn)性無(wú)關(guān)，還是正交的，這顯然是個(gè)更有用的結果。

 

24是一個(gè)重要命題，它涉及到由一個(gè)列向量生成的矩陣的特征值問(wèn)題。實(shí)際上有一個(gè)列向量生成的矩陣其秩是1，而且是對稱(chēng)的，所以必可對角化，故0是其n-1重特征值，至于非零特征值，也不難求出，就是這個(gè)列向量轉置后生成的數。此題的結論很常用，要重點(diǎn)掌握。

 

25題涉及求矩陣的多項式運算，不外乎就是乘方運算，與17、18題類(lèi)同。

 

26、27題考察二次型的概念，基本題，要求熟練寫(xiě)出一個(gè)二次型所對應的矩陣，反過(guò)來(lái)也一樣。

 

28、29題考察用正交變換化二次型為標準型，實(shí)際上就是一個(gè)對角化的問(wèn)題，但因為是對稱(chēng)矩陣，所以既可正交又可相似對角化。同時(shí)要注意二次型的幾何意義：是一個(gè)二次曲面。曲面的形狀在不同的坐標系下都是一樣的，所以對于一個(gè)復雜的二次型，若不能直接看出它是什么曲面，可以通過(guò)化為主坐標系下的二次型（即標準型）來(lái)進(jìn)行觀(guān)察。

 

30、綜合性較強的一道題，轉化為多元函數的條件極值問(wèn)題即可。

 

31、用配方法化二次型的練習，基本題，注意計算不要出錯。

 

32、33都是判斷二次型的正定性，對于具體給出的二次型，用順序主子式的符號即可判斷，這個(gè)是其中一個(gè)充分必要條件。

 

34、實(shí)際給出了正定的另一個(gè)充分必要條件，證明過(guò)程涉及一個(gè)抽象矩陣，故只能從最基本的正定的定義出發(fā)，此命題是一個(gè)有用的結論，要求掌握。

 

最后是一些線(xiàn)性代數核心知識點(diǎn)的相關(guān)思維訓練

 

學(xué)好線(xiàn)代的最關(guān)鍵要點(diǎn)在于“見(jiàn)一反三”，即面對同一個(gè)數學(xué)事實(shí)，都要能夠從線(xiàn)性方程組、向量和矩陣三個(gè)角度來(lái)表述和理解它，以便于根據解決問(wèn)題的需要選擇合適的切入點(diǎn)�，F將一些個(gè)人覺(jué)得比較鍛煉思維的習題匯總如下，相信通過(guò)對這些題目涉及的命題及其推理過(guò)程進(jìn)行深入思考，會(huì )有助于更進(jìn)一步把握好線(xiàn)代的知識體系。

 

1、任何一個(gè)向量α=（a1, a2, ..., an）都能由單位向量ε1=（1, 0, ..., 0）、ε2=（0, 1, ..., 0）、……、εn=（0, 0, ..., 1）線(xiàn)性表出，且表示方式唯一。

 

2、向量組α1，α2，…，αn中任一個(gè)向量αi可以由這個(gè)向量組線(xiàn)性表出。

 

3、判斷下列說(shuō)法正確性：（1）“向量組α1，α2，…，αn，如果有全為零的數k1, k2, ..., kn使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn=0，則α1，α2，…，αn線(xiàn)性無(wú)關(guān)�！保�2）“如果有一組不全為零的數k1, k2, ..., kn，使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn≠0，則α1，α2，…，αn線(xiàn)性無(wú)關(guān)�！保�3）“若向量組α1，α2，…，αn（n≥2）線(xiàn)性相關(guān)，則其中每一個(gè)向量都可以由其余向量線(xiàn)性表出�！�

 

4、三維空間中的任意4個(gè)向量必線(xiàn)性相關(guān)。

 

5、n+1個(gè)n維向量必線(xiàn)性相關(guān)。

 

6、如果向量組α1，α2，α3線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則向量組2α1+α2，α2+5α3，4α3+3α1也線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

 

7、如果向量組α1，α2，α3，α4線(xiàn)性無(wú)關(guān)，判斷向量組α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1是否線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

 

8、如果向量β可以由向量組α1，α2，…，αn線(xiàn)性表出，則表出方式唯一的充分必要條件是α1，α2，…，αn線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

 

9、設向量組α1，α2，…，αn線(xiàn)性無(wú)關(guān)，β=k1*α1+k2*α2+…+kn*αn。如果對于某個(gè)ki≠0，則用β替換αi后得到的向量組α1，…，α(i-1)，β，α(i+1)，…，αn也線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

 

10、由非零向量組成的向量組α1，α2，…，αn（n≥2）線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是每一個(gè)αi（1<i≤n）都不能用它前面的向量線(xiàn)性表出。

 

11、設α1，α2，…，αn線(xiàn)性無(wú)關(guān)，且（β1，β2，…，βn）=A（α1，α2，…，αn），則β1，β2，…，βn線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是A的行列式為零。

 

12、秩為r的向量組中任意r個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量都構成它的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組。

 

13、任一n維向量組若是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，那么其所含向量數目不會(huì )超過(guò)n。

 

14、如果n維向量構成的向量組α1，α2，…，αn線(xiàn)性無(wú)關(guān)，那么任一n維向量β可由α1，α2，…，αn線(xiàn)性表出。

 

15、如果任意的n維向量都可以由α1，α2，…，αn線(xiàn)性表出，那么α1，α2，…，αn線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

 

16、如果秩為r的向量組可以由它的r個(gè)向量線(xiàn)性表出，則這r個(gè)向量構成的向量組就是它的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組。

 

17、n個(gè)方程的n元線(xiàn)性方程組x1*α1+x2*α2+…+xn*αn=β對任何β都有解的充分必要條件是它的系數行列式為零。

 

18、如果向量組α1，α2，…，αn和向量組α1，α2，…，αn，β有相同的秩，則β可以由α1，α2，…，αn線(xiàn)性表出。

 

19、r（α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βm）≤r（α1，α2，…，αn）+r（β1，β2，…，βm）。

 

20、矩陣的任意一個(gè)子矩陣的秩不會(huì )超過(guò)原矩陣的秩。

 

21、如果m*n的矩陣A的秩為r，那它的任何s行組成的子矩陣A1的秩不會(huì )小于r+s-m。

 

22、如果一個(gè)n*n矩陣至少有n^2-n+1個(gè)元素為0，則這個(gè)矩陣不是滿(mǎn)秩矩陣。

 

23、如果一個(gè)n*n矩陣至少有n^2-n+1個(gè)元素為0，那么這個(gè)矩陣的秩最多是多少？

 

24、設η1，η2，…，ηt是齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)基礎解系，則與η1，η2，…，ηt等價(jià)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組也是方程組的一個(gè)基礎解系。

 

25、設n元齊次線(xiàn)性方程組的系數矩陣的秩是r（r<n），則方程組的任意n-r個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量都是它的一個(gè)基礎解系。

 

26、設n元齊次線(xiàn)性方程組的系數矩陣的秩是r（r<n），設δ1，δ2，…，δm是方程組的解向量，則r（δ1，δ2，…，δm）≤n-r。

 

27、設n個(gè)方程的n元線(xiàn)性方程組的系數矩陣A的行列式等于零，同時(shí)A至少存在一個(gè)元素的代數余子式A(kl)不為零，則向量（A(k1), A(k2), ..., A(kn)）是這個(gè)齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)基礎解系。

 

28、設A1是s*n矩陣A的前s-1行組成的子矩陣，如果以A1為系數矩陣的齊次線(xiàn)性方程組的解都是方程a(s1)*x1+a(s2)*x2+…+a(sn)*xn=0的解，其中a(ij)是矩陣A的元素，則A的第s行可以由A的前s-1行線(xiàn)性表出。

 

29、n個(gè)方程的n元非齊次線(xiàn)性方程組有唯一解當且僅當它對應的齊次方程組只有零解。

 

30、如果η1，η2，…，ηt都是n元非齊次線(xiàn)性方程組的解，并且有一組數u1，u2，…，un滿(mǎn)足u1+u2+...+un=1，則u1*η1+u2*η2+…+ut*ηt也是方程組的一個(gè)解。

 

31、如果ν0是非齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)特解，η1，η2，…，ηt是它對應的齊次方程組的一個(gè)基礎解系，令ν1=ν0+η1，ν2=ν0+η2，…，νt=ν0+ηt，則非齊次線(xiàn)性方程組的任意一個(gè)解可以表示為ν=u0*ν0+u1*ν1+u2*ν2+...+ut*νt，其中u0+u1+u2+...+ut=1。

 

32、設A是s*n矩陣，如果對于任意列向量η，都有Aη=0，則A=0。

 

33、兩個(gè)n級上三角矩陣的乘積仍是n級上三角矩陣，且乘積矩陣的主對角元等于因子矩陣的相應主對角元乘積。

 

34、與所有n級矩陣可交換的矩陣一定是n級數量矩陣。

 

35、對任一s*n矩陣A，AA'和A'A都是對稱(chēng)矩陣。

 

36、兩個(gè)n級對稱(chēng)矩陣的和仍是對稱(chēng)矩陣，一個(gè)對稱(chēng)矩陣的k倍仍是對稱(chēng)矩陣。

 

37、兩個(gè)n級對稱(chēng)矩陣的乘積仍是對稱(chēng)矩陣的充分必要條件是它們可交換。

 

38、對任一n級矩陣，A+A'都是對稱(chēng)矩陣，A-A'都是反對稱(chēng)矩陣。

 

39、任一n級矩陣都可以表示為一個(gè)對稱(chēng)矩陣和一個(gè)反對稱(chēng)矩陣之和。

 

40、如果A是n級對稱(chēng)矩陣，并且A*A=0，則A=0。

 

41、r（A+B）≤r（A）+r（B）。

 

42、如果一個(gè)矩陣的行（列）向量組是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，則稱(chēng)為行（列）滿(mǎn)秩矩陣。如果一個(gè)s*n的矩陣A的秩為r，則有s*r的列滿(mǎn)秩矩陣B和r*n的行滿(mǎn)秩矩陣C存在，使得A=BC。

 

43、設A是n級矩陣，若AA'=E，則A的行列式為1或-1。

 

44、如果矩陣A可逆，則A*也可逆，求A*的逆陣。

 

45、可逆的對稱(chēng)矩陣的逆矩陣仍然是對稱(chēng)矩陣。

 

46、如果A^k=0，則A-E可逆，求其逆陣。

 

47、設A、B分別為s*n，n*m矩陣，如果AB=0，則r（A）+r（B）≤n。

 

48、設A是n級矩陣，且A≠0，則存在一個(gè)n*m的非零矩陣，使AB=0的充分必要條件是A的行列式為零。

 

49、如果n級矩陣A滿(mǎn)足A*A=E，則r（A+E）+r（A-E）≤n。

 

50、設A是一個(gè)s*n矩陣，β是任意一個(gè)s維向量，則n元線(xiàn)性方程組A'Ax=A'β一定有解。

 

51、設A是一個(gè)n級方陣，且r（A）=1，則A能表示成一個(gè)列向量與一個(gè)行向量的乘積。

 

52、設A是n級矩陣（n≥2），則A*的行列式等于A的行列式的n-1次方。

 

53、設A是n級矩陣（n≥2），則當r（A）=n時(shí)，r（A*）=n；當r（A）=n-1時(shí)，r（A*）=1；當r（A）<n-1時(shí)，r（A*）=0。

 

54、設A、B分別是s*n，n*m的矩陣，則矩陣方程AX=B有解的充分必要條件是r（A）=r（A, B）。

 

55、設A、B分別是s*n，n*m矩陣，則r(AB)≥r（A）+r（B）-n。

 

56、設C是s*r的列滿(mǎn)秩矩陣，D是r*n的行滿(mǎn)秩矩陣，則r（CD）=r。

 

其中55題難度較大，不作強求。另外補充說(shuō)明一下，可能一開(kāi)始大家完成這些題目的證明時(shí)有的需要在書(shū)面上推導，但熟悉了以后再重看的話(huà)，應該是可以?xún)H憑頭腦中的推理完成的，換句話(huà)說(shuō)，我們的最終目的是不動(dòng)一紙一筆把這幾十道題目的來(lái)龍去脈勾畫(huà)清楚，所以前面提到是“思維的訓練”，做到這一點(diǎn)的話(huà)，線(xiàn)代基本就可算是學(xué)到家了。