江蘇專(zhuān)轉本微分中值定理與導數的應用練習題答案

一、單項選擇題（每小題4分，共24分）

1、已知 ，則 有    （B）

A　一個(gè)實(shí)根    　　B　兩個(gè)實(shí)根   

C 　三個(gè)實(shí)根    　　D　無(wú)實(shí)根   

解：（1）

在 滿(mǎn)足羅爾定理條件

故有 （ ）

綜上所述， 少有兩個(gè)實(shí)根 ，至多有兩個(gè)根，故選Ｂ

 2．下列函數在所給區間滿(mǎn)足羅爾定理條件的是                �。�D）

A　

B　

C　

D　

解：

，

滿(mǎn)足羅爾定理條件．故選  D

3．設曲線(xiàn) ，則其拐點(diǎn)坐標為（C）

A　0 　　　　　　　B（0，1）　

C（0，0）　　　　　D　1

解： ．令 ．得 ．

．當 時(shí)， ．

故（0，0）為曲線(xiàn)的拐點(diǎn) 　C

4．若 內

必有（C）　　　　　　　　　　

A　

B　

C　

D　

解：

凹弧

如示意圖，故有

5．設

在 取得極值。則 為．．．（Ｂ）

A　     B　

C　    D　

解：⑴

①

⑵ ②

①—②  得 ①

得

答案選Ｂ

6．下列命題中正確的是----------（B）

A 為極值點(diǎn)，則必有

B 若 在點(diǎn)  處可導，且  為   的極值點(diǎn)，則必有

C 若 在（ ）有極大值也有極小值則極大值必大于極小值。

D 若 則點(diǎn) 必有 的極值點(diǎn)。

解：可導函數的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，故有 =0  選B

二、填空題（每小題4分，共24分）

7．設 可導，且 的極小值。則

解：原式=

8． 的單調增加區間為

解：（1）定義域 （2）

當0<x<e 時(shí)。  故 的單調增區間為（0，e）

9． 的極小值是

解：（1）

（2）令 ，駐點(diǎn) ． 是 不可導點(diǎn)

（3）極小值

10． 的最大值為 1 

解：（1） 是 的不可導點(diǎn)。

（2）

（3）最大值為

11．曲線(xiàn) 的水平漸進(jìn)線(xiàn)為＿＿

解：

∴直線(xiàn) 是曲線(xiàn)的一條水平漸進(jìn)線(xiàn)

12．函數 在[1，2]滿(mǎn)足拉格朗日中值定理條件的

解：（1） — =

（2）

三、計算題（每小題8分，共64分）

 13.已知 在區間 滿(mǎn)足拉格朗日中值定理條件，求

解：

，

14．求函數 的單調區間

與極值。

解：（１）

駐點(diǎn)， 的不可導點(diǎn)

（2）

（3）極大值 ，極小值 ， 在 單調減

在 單調增

15 求由方程 所確定

的極值。

解：（1）求駐點(diǎn)：

令 →駐點(diǎn)

（2）判別極值點(diǎn)

當 時(shí)  代入上式

2+0+0+0+

= 為極大值點(diǎn)，

（3）極大值

16．求 在區間[ ，4]

上的最大值，最小值。

解：（ 1）

令 ，   為不可導點(diǎn)  

（2）∵

（3）比較上述函數的大小

最小值為   ，最大值為 0 

17．求曲線(xiàn) 的凹凸區間與拐點(diǎn)。

解：（1）定義域（--∞，+∞）

（2）      

令

得 ； 不存在的點(diǎn)為

（3）列表

答：拐點(diǎn)（0， ）及（1， ）； _，

為凹區間，（0，1）為凸區間。

18．求曲線(xiàn) 的水平漸近線(xiàn)與垂直漸近線(xiàn)。

解：（1） 是曲線(xiàn)的一條水平漸近線(xiàn)。

（2）

是曲線(xiàn)的另一條水平漸近線(xiàn)

（3）∵

為曲線(xiàn)的一條垂直漸近線(xiàn)

19．判別函數 在 的單調性。

解：（1）

（２）令

且

（3）

在 單調減。

20．設 確定 單調的區間。

解：（1）

故有 為駐點(diǎn)

（2）當 時(shí)，

時(shí)，

（3）除 外， ． 在 單調增加。

四、綜合題（每小題10分，共２０分）

21 已知函數的圖形上有一拐點(diǎn)（2，4），在拐點(diǎn)處曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率為 ，而且該函數滿(mǎn)足 ，求此函數

解（1）已知；

（2）求常數

，

（3）求 ：

，

由

（4）求函數y:

答：所求函數y=

22 利用導數描繪 的圖形

解：（1）定義域 ，非奇非偶函數

（2）求駐點(diǎn)和 的點(diǎn)

，令 ，駐點(diǎn)

，令 ，得

（3）列表

極大值 ，拐點(diǎn)

（4）漸近線(xiàn)與函數變化趨勢

是曲線(xiàn)的一條水平漸進(jìn)線(xiàn)，

（5）描點(diǎn)作圖

當 時(shí)

五、證明題（每小題9分，共18分）

23 設

存在且 單調增加，證明當 時(shí) 單調增加

證明：1）令

當 時(shí)， 單調增加

故有 單調增加

24 設 證明 ，

證明：1）構造輔助函數：

（2） 且

由羅爾定理知

＊     選做題

證明方程： 恰有一實(shí)根，其中 常數，且

證明：（1）令

且

(4)綜上所述： 有且僅有一個(gè)實(shí)根