數在計算機中是以二進(jìn)制形式表示的。
數分為有符號數和無(wú)符號數。
原碼、反碼、補碼都是有符號定點(diǎn)數的表示方法。
一個(gè)有符號定點(diǎn)數的最高位為符號位，0是正，1是副。

以下都以8位整數為例，

原碼就是這個(gè)數本身的二進(jìn)制形式。
例如
0000001 就是+1
1000001 就是-1

正數的反碼和補碼都是和原碼相同。

負數

在計算機中，負數以其正值的補碼形式表達。

什么叫補碼呢？這得從原碼，反碼說(shuō)起。

　

原碼：一個(gè)整數，按照絕對值大小轉換成的二進(jìn)制數，稱(chēng)為原碼。

比如 00000000 00000000 00000000 00000101 是 5的 原碼。

　

反碼：將二進(jìn)制數按位取反，所得的新二進(jìn)制數稱(chēng)為原二進(jìn)制數的反碼。

取反操作指：原為1，得0；原為0，得1。（1變0; 0變1）

比如：將00000000 00000000 00000000 00000101每一位取反，得11111111 11111111 11111111 11111010。

稱(chēng)：11111111 11111111 11111111 11111010 是 00000000 00000000 00000000 00000101 的反碼。

反碼是相互的，所以也可稱(chēng)：

11111111 11111111 11111111 11111010 和 00000000 00000000 00000000 00000101 互為反碼的反碼是將其原碼除符號位之外的各位求反
[-3]反=[10000011]反=11111100
負數的補碼是將其原碼除符號位之外的各位求反之后在末位再加1。
[-3]補=[10000011]補=11111101
一個(gè)數和它的補碼是可逆的。

為什么要設立補碼呢？

第一是為了能讓計算機執行減法：
[a-b]補=a補+（-b）補

第二個(gè)原因是為了統一正0和負0
正零：00000000
負零：10000000
這兩個(gè)數其實(shí)都是0，但他們的原碼卻有不同的表示。
但是他們的補碼是一樣的，都是00000000
特別注意，如果+1之后有進(jìn)位的，要一直往前進(jìn)位，包括符號位�。ㄟ@和反碼是不同的�。�
[10000000]補
=[10000000]反+1
=11111111+1
=(1)00000000
=00000000(最高位溢出了，符號位變成了0）

有人會(huì )問(wèn)
10000000這個(gè)補碼表示的哪個(gè)數的補碼呢？
其實(shí)這是一個(gè)規定，這個(gè)數表示的是-128
所以n位補碼能表示的范圍是
-2^(n-1)到2^(n-1)-1
比n位原碼能表示的數多一個(gè)

又例：
1011
原碼：01011
反碼：01011 //正數時(shí)，反碼＝原碼
補碼：01011 //正數時(shí)，補碼＝原碼

-1011
原碼：11011
反碼：10100 //負數時(shí)，反碼為原碼取反
補碼：10101 //負數時(shí)，補碼為原碼取反＋1

0．1101
原碼：0.1101
反碼：0.1101 //正數時(shí)，反碼＝原碼
補碼：0.1101 //正數時(shí)，補碼＝原碼

-0．1101
原碼：1.1101
反碼：1.0010 //負數時(shí)，反碼為原碼取反
補碼：1.0011 //負數時(shí)，補碼為原碼取反＋1

總結：
在計算機內，定點(diǎn)數有3種表示法：原碼、反碼和補碼

所謂原碼就是前面所介紹的二進(jìn)制定點(diǎn)表示法，即最高位為符號位，“0”表示正，“1”表示負，其余位表示數值的大小。

反碼表示法規定：正數的反碼與其原碼相同；負數的反碼是對其原碼逐位取反，但符號位除外。

補碼表示法規定：正數的補碼與其原碼相同；負數的補碼是在其反碼的末位加1。

1、原碼、反碼和補碼的表示方法

（1）     原碼：在數值前直接加一符號位的表示法。

例如：       符號位   數值位

[+7]原=    0     0000111   B

[-7]原=    1     0000111   B

      注意：a. 數0的原碼有兩種形式：

                    [+0]原=00000000B     [-0]原=10000000B

                b. 8位二進(jìn)制原碼的表示范圍：-127～+127

2）反碼：

      正數：正數的反碼與原碼相同。

      負數：負數的反碼，符號位為“1”，數值部分按位取反。

例如： 符號位    數值位

      [+7]反=   0    0000111   B

      [-7]反=   1    1111000   B

注意：a. 數0的反碼也有兩種形式，即

               [+0]反=00000000B

               [- 0]反=11111111B

           b. 8位二進(jìn)制反碼的表示范圍：-127～+127

3）補碼的表示方法

1）模的概念：把一個(gè)計量單位稱(chēng)之為�；蚰�數。例如，時(shí)鐘是以12進(jìn)制進(jìn)行計數循環(huán)的，即以12為模。在時(shí)鐘上，時(shí)針加上（正撥）12的整數位或減去（反撥）12的整數位，時(shí)針的位置不變。14點(diǎn)鐘在舍去模12后，成為（下午）2點(diǎn)鐘（14=14-12=2）。從0點(diǎn)出發(fā)逆時(shí)針撥10格即減去10小時(shí)，也可看成從0點(diǎn)出發(fā)順時(shí)針撥2格（加上2小時(shí)），即2點(diǎn)（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射為+2。由此可見(jiàn)，對于一個(gè)模數為12的循環(huán)系統來(lái)說(shuō)，加2和減10的效果是一樣的；因此，在以12為模的系統中，凡是減10的運算都可以用加2來(lái)代替，這就把減法問(wèn)題轉化成加法問(wèn)題了（注：計算機的硬件結構中只有加法器，所以大部分的運算都必須最終轉換為加法）。10和2對模12而言互為補數。

同理，計算機的運算部件與寄存器都有一定字長(cháng)的限制（假設字長(cháng)為8），因此它的運算也是一種模運算。當計數器計滿(mǎn)8位也就是256個(gè)數后會(huì )產(chǎn)生溢出，又從頭開(kāi)始計數。產(chǎn)生溢出的量就是計數器的模，顯然，8位二進(jìn)制數，它的模數為28=256。在計算中，兩個(gè)互補的數稱(chēng)為“補碼”。

2）補碼的表示： 正數：正數的補碼和原碼相同。

     負數：負數的補碼則是符號位為“1”，數值部分按位取反后再在末位（最低位）加1。也就是“反碼+1”。

例如：   符號位 數值位

[+7]補=    0    0000111   B

       [-7]補=    1    1111001   B

補碼在微型機中是一種重要的編碼形式，請注意：

a.采用補碼后，可以方便地將減法運算轉化成加法運算，運算過(guò)程得到簡(jiǎn)化。正數的補碼即是它所表示的數的真值，而負數的補碼的數值部份卻不是它所表示的數的真值。采用補碼進(jìn)行運算，所得結果仍為補碼。

b.與原碼、反碼不同，數值0的補碼只有一個(gè)，即        [0]補=00000000B。

c.若字長(cháng)為8位，則補碼所表示的范圍為-128～+127；進(jìn)行補碼運算時(shí)，應注意所得結果不應超過(guò)補碼所能表示數的范圍。

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補碼 反碼 二進(jìn)制

理解有符號數和無(wú)符號數

回頭看上一節，我們所講的數都是正數。同樣是年紀和工資，前者不需要有負值，但后者可能需要——至少所有的老板都這樣認為。

那么，負數在計算機中如何表示呢？

這一點(diǎn)，你可能聽(tīng)過(guò)兩種不同的回答。

一種是教科書(shū)，它會(huì )告訴你：計算機用“補碼”表示負數�？墒怯嘘P(guān)“補碼”的概念一說(shuō)就得一節課，這一些我們需要在第6章中用一章的篇幅講2進(jìn)制的一切。再者，用“補碼”表示負數，其實(shí)一種公式，公式的作用在于告訴你，想得問(wèn)題的答案，應該如何計算。卻并沒(méi)有告訴你為什么用這個(gè)公式就可以和答案？

另一種是一些程序員告訴你的：用二進(jìn)制數的最高位表示符號，最高位是0，表示正數，最高位是1，表示負數。這種說(shuō)法本身沒(méi)錯，可是如果沒(méi)有下文，那么它就是錯的。至少它不能解釋?zhuān)瑸槭裁醋址��?lèi)型的-1用二進(jìn)制表示是“1111 1111”(16進(jìn)制為FF)；而不是我們更能理解的“1000 0001”。（為什么說(shuō)后者更好理解呢？因為既然說(shuō)最高位是1時(shí)表示負數，那1000 0001不是正好是-1嗎？）。

讓我們從頭說(shuō)起。

1、你自已決定是否需要有正負。

就像我們必須決定某個(gè)量使用整數還是實(shí)數，使用多大的范圍數一樣，我們必須自已決定某個(gè)量是否需要正負。如果這個(gè)量不會(huì )有負值，那么我們可以定它為帶正負的類(lèi)型。

在計算機中，可以區分正負的類(lèi)型，稱(chēng)為有符類(lèi)型，無(wú)正負的類(lèi)型（只有正值），稱(chēng)為無(wú)符類(lèi)型。

數值類(lèi)型分為整型或實(shí)型，其中整型又分為無(wú)符類(lèi)型或有符類(lèi)型，而實(shí)型則只有符類(lèi)型。

字符類(lèi)型也分為有符和無(wú)符類(lèi)型。

比如有兩個(gè)量，年齡和庫存，我們可以定前者為無(wú)符的字符類(lèi)型，后者定為有符的整數類(lèi)型。

2、使用二制數中的最高位表示正負。

首先得知道最高位是哪一位？1個(gè)字節的類(lèi)型，如字符類(lèi)型，最高位是第7位，2個(gè)字節的數，最高位是第15位，4個(gè)字節的數，最高位是第31位。不同長(cháng)度的數值類(lèi)型，其最高位也就不同，但總是最左邊的那位（如下示意）。字符類(lèi)型固定是1個(gè)字節，所以最高位總是第7位。

(紅色為最高位)

單字節數： 1111 1111

雙字節數： 1111 1111 1111 1111

四字節數： 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

　

當我們指定一個(gè)數量是無(wú)符號類(lèi)型時(shí)，那么其最高位的1或0，和其它位一樣，用來(lái)表示該數的大小。

當我們指定一個(gè)數量是無(wú)符號類(lèi)型時(shí)，此時(shí)，最高數稱(chēng)為“符號位”。為1時(shí)，表示該數為負值，為0時(shí)表示為正值。

3、無(wú)符號數和有符號數的范圍區別。

無(wú)符號數中，所有的位都用于直接表示該值的大小。有符號數中最高位用于表示正負，所以，當為正值時(shí)，該數的最大值就會(huì )變小。我們舉一個(gè)字節的數值對比：

無(wú)符號數： 1111 1111    值：255 1* 2⁷ + 1* 2⁶ + 1* 2⁵ + 1* 2⁴ + 1* 2³ + 1* 2² + 1* 2¹ + 1* 2⁰

有符號數： 0111 1111    值：127          1* 2⁶ + 1* 2⁵ + 1* 2⁴ + 1* 2³ + 1* 2² + 1* 2¹ + 1* 2⁰

　

同樣是一個(gè)字節，無(wú)符號數的最大值是255，而有符號數的最大值是127。原因是有符號數中的最高位被挪去表示符號了。并且，我們知道，最高位的權值也是最高的（對于1字節數來(lái)說(shuō)是2的7次方=128），所以?xún)H僅少于一位，最大值一下子減半。

不過(guò)，有符號數的長(cháng)處是它可以表示負數。因此，雖然它的在最大值縮水了，卻在負值的方向出現了伸展。我們仍一個(gè)字節的數值對比：

無(wú)符號數：                        0 ----------------- 255

有符號數：         -128 --------- 0 ---------- 127

　

同樣是一個(gè)字節，無(wú)符號的最小值是 0 ，而有符號數的最小值是-128。所以二者能表達的不同的數值的個(gè)數都一樣是256個(gè)。只不過(guò)前者表達的是0到255這256個(gè)數，后者表達的是-128到+127這256個(gè)數。

一個(gè)有符號的數據類(lèi)型的最小值是如何計算出來(lái)的呢？

有符號的數據類(lèi)型的最大值的計算方法完全和無(wú)符號一樣，只不過(guò)它少了一個(gè)最高位（見(jiàn)第3點(diǎn)）。但在負值范圍內，數值的計算方法不能直接使用1* 2⁶ + 1* 2⁵ 的公式進(jìn)行轉換。在計算機中，負數除為最高位為1以外，還采用補碼形式進(jìn)行表達。所以在計算其值前，需要對補碼進(jìn)行還原。這些內容我們將在第六章中的二進(jìn)制知識中統一學(xué)習。

這里，先直觀(guān)地看一眼補碼的形式：

以我們原有的數學(xué)經(jīng)驗，在10進(jìn)制中：1 表示正1，而加上負號：-1 表示和1相對的負值。

那么，我們會(huì )很容易認為在2進(jìn)制中（1個(gè)字節）： 0000 0001 表示正1，則高位為1后：1000 0001應該表示-1。

然而，事實(shí)上計算機中的規定有些相反，請看下表：

二進(jìn)制值（1字節）	十進(jìn)制值
1000 0000	-128
1000 0001	-127
1000 0010	-126
1000 0011	-125
...	...
1111 1110	-2
1111 1111	-1

　

首先我們看到，從-1到-128，其二進(jìn)制的最高位都是1（表中標為紅色），正如我們前面的學(xué)。

然后我們有些奇怪地發(fā)現，1000 0000 并沒(méi)有拿來(lái)表示 -0；而1000 0001也不是拿來(lái)直觀(guān)地表示-1。事實(shí)上，-1 用1111 1111來(lái)表示。

怎么理解這個(gè)問(wèn)題呢？先得問(wèn)一句是-1大還是-128大？

當然是 -1 大。-1是最大的負整數。以此對應，計算機中無(wú)論是字符類(lèi)型，或者是整數類(lèi)型，也無(wú)論這個(gè)整數是幾個(gè)字節。它都用全1來(lái)表示 -1。比如一個(gè)字節的數值中：1111 1111表示-1，那么，1111 1111 - 1 是什么呢？和現實(shí)中的計算結果完全一致。1111 1111 - 1 = 1111 1110，而1111 1110就是-2。這樣一直減下去，當減到只剩最高位用于表示符號的1以外，其它低位全為0時(shí)，就是最小的負值了，在一字節中，最小的負值是1000 0000，也就是-128。

我們以-1為例，來(lái)看看不同字節數的整數中，如何表達-1這個(gè)數：

字節數	二進(jìn)制值	十進(jìn)制值
單字節數	1111 1111	-1
雙字節數	1111 1111 1111 1111	-1
四字節數	1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111	-1

　

可能有同學(xué)這時(shí)會(huì )混了：為什么 1111 1111 有時(shí)表示255，有時(shí)又表示-1？所以我再強調一下本節前面所說(shuō)的第2點(diǎn)：你自已決定一個(gè)數是有符號還是無(wú)符號的。寫(xiě)程序時(shí)，指定一個(gè)量是有符號的，那么當這個(gè)量的二進(jìn)制各位上都是1時(shí)，它表示的數就是-1；相反，如果事選聲明這個(gè)量是無(wú)符號的，此時(shí)它表示的就是該量允許的最大值，對于一個(gè)字節的數來(lái)說(shuō)，最大值就是255。

 

原碼、反碼、補碼

我們已經(jīng)知道計算機中，所有數據最終都是使用二進(jìn)制數表達。

我們也已經(jīng)學(xué)會(huì )如何將一個(gè)10進(jìn)制數如何轉換為二進(jìn)制數。

不過(guò)，我們仍然沒(méi)有學(xué)習一個(gè)負數如何用二進(jìn)制表達。

　

比如，假設有一 int 類(lèi)型的數，值為5，那么，我們知道它在計算機中表示為：

00000000 00000000 00000000 00000101

5轉換成二制是101，不過(guò)int類(lèi)型的數占用4字節（32位），所以前面填了一堆0。

現在想知道，-5在計算機中如何表示？

在計算機中，負數以其正值的補碼形式表達。

什么叫補碼呢？這得從原碼，反碼說(shuō)起。

　

原碼：一個(gè)整數，按照絕對值大小轉換成的二進(jìn)制數，稱(chēng)為原碼。

比如 00000000 00000000 00000000 00000101 是 5的 原碼。

　

反碼：將二進(jìn)制數按位取反，所得的新二進(jìn)制數稱(chēng)為原二進(jìn)制數的反碼。

取反操作指：原為1，得0；原為0，得1。（1變0; 0變1）

比如：將00000000 00000000 00000000 00000101每一位取反，得11111111 11111111 11111111 11111010。

稱(chēng)：11111111 11111111 11111111 11111010 是 00000000 00000000 00000000 00000101 的反碼。

反碼是相互的，所以也可稱(chēng)：

11111111 11111111 11111111 11111010 和 00000000 00000000 00000000 00000101 互為反碼。

　

補碼：反碼加1稱(chēng)為補碼。

也就是說(shuō)，要得到一個(gè)數的補碼，先得到反碼，然后將反碼加上1，所得數稱(chēng)為補碼。

比如：00000000 00000000 00000000 00000101 的反碼是：11111111 11111111 11111111 11111010。

那么，補碼為：

11111111 11111111 11111111 11111010 + 1 = 11111111 11111111 11111111 11111011

　

所以，-5 在計算機中表達為：11111111 11111111 11111111 11111011。轉換為十六進(jìn)制：0xFFFFFFFB。

　

再舉一例，我們來(lái)看整數-1在計算機中如何表示。

假設這也是一個(gè)int類(lèi)型，那么：

　

1、先取1的原碼：00000000 00000000 00000000 00000001

2、得反碼：      11111111 11111111 11111111 11111110

3、得補碼：      11111111 11111111 11111111 11111111

　

可見(jiàn)，－1在計算機里用二進(jìn)制表達就是全1。16進(jìn)制為：0xFFFFFF