一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

1．設 ， ， 為同階方陣，下面矩陣的運算中不成立的是（   C   ）

A．                                  B．

C．                                 D．

，未必等于 ．

2．已知 ，那么 （   B   ）

A．                      B．                       C．                        D．12

．

3．若矩陣 可逆，則下列等式成立的是（   C   ）

A．             B．                    C．      D．

，所以 ．

4．若 ， ， ，則下列矩陣運算的結果為 矩陣的是（   D   ）

A．                      B．                  C．                             D．

與 都是 矩陣，由此可以將前三個(gè)選項排除．

5．設有向量組 ： ，其中 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則（   A   ）

A． 線(xiàn)性無(wú)關(guān)                                        B． 線(xiàn)性無(wú)關(guān)

C． 線(xiàn)性相關(guān)                             D． 線(xiàn)性相關(guān)

整體無(wú)關(guān) 部分無(wú)關(guān)．

6．若四階方陣 的秩為3，則（   B   ）

A． 為可逆陣                                               B．齊次方程組 有非零解

C．齊次方程組 只有零解                      D．非齊次方程組 必有解

， 有非零解．

7．設 為 矩陣，則 元齊次線(xiàn)性方程 存在非零解的充要條件是（   B   ）

A． 的行向量組線(xiàn)性相關(guān)                             B． 的列向量組線(xiàn)性相關(guān)

C． 的行向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)                             D． 的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)

存在非零解的充要條件是 ，即 的列向量組線(xiàn)性相關(guān)．

8．下列矩陣是正交矩陣的是（   A   ）

A．                                           B．

C．                                      D．

．

9．二次型 （ 為實(shí)對稱(chēng)陣）正定的充要條件是（   D   ）

A． 可逆                                                      B．

C． 的特征值之和大于0                              D． 的特征值全部大于0

10．設矩陣 正定，則（   C   ）

A．                      B．                      C．                             D．

， ， ．

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

11．設 ， ，則 _____________．

．

12．若 ，則 _____________．

， ．

13．設 ，則 _____________．

， ， ，	， ， ，	， ， ，
．

14．已知 ，則 _____________．

由 ，得 ， ， ，所以 ．

15．向量組 的秩為_____________．

，秩為2．

16．設齊次線(xiàn)性方程 有解 ，而非齊次線(xiàn)性方程且 有解 ，則 是方程組_____________的解．

由 ， ，可得 ，即 是 的解．

17．方程組 的基礎解系為_____________．

， ，基礎解系為 ．

18．向量 正交，則 _____________．

由 ，即 ， ．

19．若矩陣 與矩陣 相似，則  _____________．

相似矩陣有相同的跡，所以 ， 2．

20．二次型 對應的對稱(chēng)矩陣是_____________．

．

三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

21．求行列式 的值．

解：

．

22．已知 ， ， ， ，矩陣 滿(mǎn)足方程 ，求 ．

解：由 ，得 ，于是

．

23．設向量組為 ， ， ， ，求向量組的秩，并給出一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組．

解：

，

向量組的秩為2， 是一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組．

24．求 取何值時(shí)，齊次方程組 有非零解？并在有非零解時(shí)求出方程組的通解．

解：

， 或 時(shí)，方程組有非零解；

時(shí)，

， ，通解為 ， 為任意實(shí)數；

時(shí)，

， ，通解為 ， 為任意實(shí)數．

25．設矩陣 ，求矩陣 的全部特征值和特征向量．

解：

，特征值 ， ．

對于 ，解齊次線(xiàn)性方程組 ：

， ，基礎解系為 ， ，對應的全部特征向量為 ， 是任意不全為零的常數；

對于 ，解齊次線(xiàn)性方程組 ：

， ，基礎解系為 ，對應的全部特征向量為 ， 是任意非零常數．

26．用配方法求二次型 的標準形，并寫(xiě)出相應的線(xiàn)性變換．

解：

作可逆線(xiàn)性變換

，

得標準形

．

四、證明題（本大題共1小題，6分）

27．證明：若向量組 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而

，

則向量組 線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是 為奇數．

證：設 ，即 ，

由 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，可得齊次方程組 ，其系數行列式

，

       當且僅當 為奇數時(shí)， ，齊次方程組只有零解， 線(xiàn)性無(wú)關(guān)．