一、知識要點(diǎn)回顧

　　1. 二元一次方程組的解法主要有代入消元法、加減消元法.代入消元法，是將其中一個(gè)方程中的某個(gè)未知數用含有另一個(gè)未知數的代數式表示出來(lái)，并代入另一個(gè)方程中，從而消去一個(gè)未知數，化二元一次方程組為一元一次方程.加減消元法，是通過(guò)兩方程相加(減)消去其中一個(gè)未知數，化二元一次方程組為一元一次方程.

　　2. 二元一次方程組還可以用“圖象法”去解.圖象法，是把方程組中的兩個(gè)方程轉化成一次函數，作出兩個(gè)一次函數的圖象，求出交點(diǎn)坐標，則交點(diǎn)的橫坐標與縱坐標就分別是方程組中的x、y的解.

　　3. 解二元一次方程組應用題，實(shí)際上就是正確地找出問(wèn)題中的兩個(gè)等量關(guān)系.

　　4. 二元一次方程(組)與一次函數之間的關(guān)系：

　�、僖淮魏瘮祔=kx+b中的兩個(gè)變量x、y看成未知數，則這個(gè)解析式可以看做是一個(gè)關(guān)于x、y的二元一次方程，一次函數圖象上任意一點(diǎn)的坐標都是二元一次方程kx+b-y=0的解.②方程組的解與函數圖象交點(diǎn)的坐標等同，可利用圖象法求二元一次方程組的解.

　　二、典型題解析

　　例1 二元一次方程組

　　2x+□y=3， ①□x+y=3 ②中第一個(gè)方程 y 的系數被遮住，第二個(gè)方程x的系數被遮住，但知道x=2，y=1是這個(gè)方程組的解.你能求出原來(lái)的方程組嗎?

　　解：設遮住的y的系數為m，x的系數為n.

　　因為x=2，y=1是方程組的解，所以將x=2，y=1分別代入方程①和方程②，可得2×2+m×1=3，n×2+1=3.解得m=-1,n=1.

　　所以，原來(lái)的方程組為2x-y=3，x+y=3.

　　評注：求解此類(lèi)題目可利用方程(組)及其解的定義，把解直接代入，求出方程中的待定系數的值.

　　例2 解方程組x+3y=4，①x+y=0. ②

　　解：由②得x+2y=0，即x=-2y.把x=-2y代入①得y=4.

　　把y=4代入x=-2y，得x=-8.所以原方程組的解為x=-8，y=4.

　　評注：解二元一次方程組的基本思想是“消元”，把二元一次方程組轉化為一元一次方程來(lái)解.消元時(shí)要觀(guān)察方程組中未知數的系數的特點(diǎn)，盡可能選擇變形后比較簡(jiǎn)單或代入后化簡(jiǎn)比較容易的方程進(jìn)行變形.本題若從①入手，比較麻煩.

　　例3 已知x、y是實(shí)數，且+y2-6y+9=0.求xy的值.

　　解：原方程可化為+(y-3)2=0.

　　∵≥0，(y-3)2≥0，

　　∴3x+y=0，y-3=0. 故x=-1，y=3.

　　∴xy=-3.

　　評注：幾個(gè)非負數之和等于0，則這幾個(gè)非負數都等于0.

　　例4 用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身16個(gè)，或制盒底43個(gè).一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一套.現有150張白鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底，正好制成都配套的罐頭盒?

　　解：設需要x張鐵皮做盒身，y張鐵皮做盒底.

　　根據題意得x+y=150，43y=2×16x.

　　解這個(gè)方程組得x=86，y=64.

　　∴用86張鐵皮做盒身，64張鐵皮做盒底.

　　評注：列二元一次方程組的步驟和列一元一次方程的步驟大致相同.隨著(zhù)問(wèn)題的復雜性的增加，列二元一次方程組比列一元一次方程解決問(wèn)題更加直接、簡(jiǎn)單.本題也可用一元一次方程解，同學(xué)們不妨試試.

　　例5 某工廠(chǎng)去年的總產(chǎn)值比總支出多500萬(wàn)元.今年總產(chǎn)值比去年增加15%，總支出比去年節約10%，因此今年總產(chǎn)值比總支出多950萬(wàn)元.今年的總產(chǎn)值和總支出各是多少?

　　解：設去年的總產(chǎn)值是x萬(wàn)元，去年的總支出為y萬(wàn)元.

　　根據題意得x-y=500，(1+15%)x-(1-10%)y=950.

　　解這個(gè)方程組，得x=2 000，y=1 500.

　　(1+15%)x=2 300，(1-10%)y=1 350.

　　∴今年的總產(chǎn)值是2 300萬(wàn)元，總支出是1 350萬(wàn)元.

　　評注：當直接設未知數列方程比較困難時(shí)，可以采用設間接未知數的方法.

　　例6 甲火車(chē)長(cháng)92 m，乙火車(chē)長(cháng)84 m.若相向而行，兩車(chē)從相遇到完全離開(kāi)，時(shí)間為1.5 s;若同向而行，兩車(chē)從相遇到完全離開(kāi)，時(shí)間為6 s.假設甲車(chē)速度比乙車(chē)快，求甲、乙兩車(chē)的速度.

　　解：設甲車(chē)速度為x m/s，乙車(chē)速度為y m/s.

　　根據題意有1.5(x+y)=92+84，6(x-y)=92+84. 解這個(gè)方程組得x=73y=44.，

　　∴甲、乙兩車(chē)的速度分別為73 m/s和44 m/s.

　　評注：兩車(chē)相向而行，屬相遇問(wèn)題，兩車(chē)間距離等于速度和乘以時(shí)間;兩車(chē)同向而行，屬追及問(wèn)題，兩車(chē)間距離等于速度差乘以時(shí)間.

　　例7 已知直線(xiàn)y=k1x+b1經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)(-2，-4)，直線(xiàn)y=k2x+b2經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，5)和點(diǎn)(8，-2).

　　(1)求兩直線(xiàn)的解析式.

　　(2)若兩直線(xiàn)相交于M點(diǎn)，求M點(diǎn)的坐標.

　　(3)若直線(xiàn)y=k2x+b2與x軸交于點(diǎn)N，求△MON的面積.

　　解：(1)y=2x，y=-x+6.

　　(2)解方程組y=2x，y=-x+6， 得x=2，y=4.

　　∴M點(diǎn)坐標為(2，4).

　　(3)當y=0時(shí)，得-x+6=0，x=6.

　　∴N點(diǎn)坐標為(6，0).

　　∴ON=6.

　　又知ON邊上的高為點(diǎn)M的縱坐標的絕對值，是4，

　　∴S△MON=×6×4=12.

　　評注：二元一次方程與一次函數可以視題目要求互相轉換.

　　三、深刻領(lǐng)會(huì )各種數學(xué)思想

　　用代入消元法、加減消元法解二元一次方程組時(shí)，我們能體會(huì )到“化未知為已知”的化歸思想.

　　在二元一次方程與一次函數的關(guān)系中，體會(huì )到了“數形結合”思想的美妙之處，建立了方程與函數的聯(lián)系.

　　數學(xué)思想是數學(xué)知識的精髓.在學(xué)習知識的同時(shí)，深刻領(lǐng)會(huì )數學(xué)思想，才會(huì )使我們的學(xué)習向更高的層次邁進(jìn).注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。