三角函數

　　考試內容：

　　角的概念的推廣�；《戎�。

　　任意角的三角函數。單位圓中的三角函數線(xiàn)。同角三角函數的基本關(guān)系式：sin2α+cos2α=1，sina/cosa=tanα，tanαcotα=1.正弦、余弦的誘導公式。

　　兩角和與差的正弦、余弦、正切。二倍角的正弦、余弦、正切。

　　正弦函數、余弦函數的圖象和性質(zhì)。周期函數。函數y=Asin(ωx+φ)的圖象。正切函數的圖象和性質(zhì)。已知三角函數值求角。

　　正弦定理。余弦定理。斜三角形解法。

　　考試要求：

　　(1)了解任意角的概念、弧度的意義。能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算。

　　【導讀】近年的高考題中，三角函數主要考查基礎知識、基本技能、基本方法，復習中注意“三基”的落實(shí)。一般都在選擇題與填空題中考查，多為容易或中等難度的題目。三角函數符號規律記憶口訣：一全正，二正弦，三是切，四余弦。要熟悉任意角的概念、弧度制與角度制的互化、弧度制下的有關(guān)公式、任意角的三角函數概念。

　　【試題舉例】

　　α是第四象限角，tanα=-5/12，則sinα等于(　　)

　　A.1/5 B.-1/5 C.5/13 D.-5/13

　　【答案】D

　　【解析】α是第四象限角，tanα=-5/12，則sinα=-1/1+√tana*tana=-5/13.

　　(2)理解任意角的正弦、余弦、正切的定義。了解余切、正割、余割的定義。掌握同角三角函數的基本關(guān)系式。掌握正弦、余弦的誘導公式。了解周期函數與最小正周期的意義。

　　【導讀】同角三角函數基本關(guān)系式是其他公式推導的理論基礎。對于誘導公式，可用“奇變偶不變，符號看象限”概括。三角公式是三角函數的心臟，它貫穿于整個(gè)的三角運算過(guò)程之中。在已知一個(gè)角的三角函數值，求這個(gè)角的其他三角函數值時(shí)，要注意題設中角的范圍，并就不同的象限分別求出相應的值。

　　【試題舉例】

　　已知簡(jiǎn)諧運動(dòng)f(x)=2sin(π/3x+φ)(|φ <)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，則該簡(jiǎn)諧運動(dòng)的最小正周期T和初相φ分別為(　　)

　　A.T=6，φ=π/6 B.T=6，φ=π/3

　　C.T=6π，φ=π/6 D.T=6π，φ=π/3

　　【答案】A

　　【解析】依題意2sinφ=1，結合|φ <π/2可得φ=π/6，易得T=6，故選A.

　　(3)掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

　　【導讀】三角函數的化簡(jiǎn)與求值類(lèi)型的高考題型非常豐富，求值與化簡(jiǎn)過(guò)程中應當注意同名三角函數與同角三角函數的化歸。不僅要能熟練推證公式(建議自己推證一遍所有公式)、熟悉公式的正用逆用，還要熟練掌握公式的變形應用;注意拆角、拼角技巧，如α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)等;注意倍角的相對性，如3α是3a/2的倍角;注意公式的變形使用，弦切互化、三角代換、消元是三角變換的重要方法，要盡量減少開(kāi)方運算，慎重確定符號。注意“1”的靈活代換，如1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=csc2α-cot2α=tanα•cotα.應用誘導公式，重點(diǎn)是“函數名稱(chēng)”與“正負號”的正確判斷，一般常用“奇變偶不變，符號看象限”的口訣。利用同角三角函數的關(guān)系及誘導公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明時(shí)，要細心觀(guān)察題目的特征，注意培養觀(guān)察、分析問(wèn)題的能力，并注意做題后的總結，總結一般規律。如：“切割化弦”“1的巧代”，sinα+cosα、sinαcosα、sinα-cosα這三個(gè)式子間的關(guān)系。最后要時(shí)時(shí)注意角的范圍的討論。

　　公式應用講究一個(gè)“活”字，即正用、逆用、變形用，還要創(chuàng )造條件應用公式，如拆角、拼角技巧等。

　　【試題舉例】

　　“θ=2π/3”是“tanθ=2cos(π/2+θ)”的(　　)

　　A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

　　C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

　　【答案】A

　　【解析】tanθ=tan2/3π=-√3，2cos(π/2+θ)=2sin(-θ)=-2sin(2/3π)=-√3可知充分成立，當θ=0°時(shí)tanθ=0,2cos(π/2+θ)=0可知不必要。故選A.

　　(4)能正確運用三角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明。

　　【導讀】化簡(jiǎn)要求：

　　(1)能求出值的應求出值。

　　(2)使三角函數種數盡量少。

　　(3)使項數盡量少。

　　(4)盡量使分母不含三角函數。

　　(5)盡量使被開(kāi)方數不含三角函數。

　　常用方法：

　　(1)直接應用公式。

　　(2)切割化弦，異名化同名，異角化同角。

　　(3)形如cosαcos2αcos22α…cos2nα的函數式，只需將分子、分母分別乘以2n+1sinα，應用二倍角正弦公式即可。

　　注意事項：

　　(1)公式的熟與準，要依靠理解內涵，明確聯(lián)系應用，練習嘗試，不可機械記憶。

　　(2)要重視對遇到的問(wèn)題中角、函數名及其整體結構的分析，提高公式選擇的恰當性，有利于縮短運算程序，提高學(xué)習效率。

　　(3)角的變換體現出將未知轉化為已知的思想方法，這是解決三角中關(guān)于角的變換問(wèn)題常用的數學(xué)方法之一。

　　【試題舉例】

　　sin15°cos75°+cos15°sin105°等于(　　)

　　A.0　 B.

　　C.√3/2　 D.1

　　【答案】D

　　【解析】sin15°cos75°+cos15°sin105°=sin(15°+75°)=1，選D.

　　(5)理解正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象和性質(zhì)，會(huì )用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數、余弦函數和函數y=Asin(ωx+φ)的簡(jiǎn)圖，理解A、ω、φ的物理意義。

　　【導讀】三角函數圖象的平移變換及伸縮變換是歷屆高考的必考知識點(diǎn)，應當注意應用逆向思維的方法去驗證所得的結論。

　　三角函數圖象是三角函數考查的重要內容，通過(guò)圖象及方程可以用函數的觀(guān)點(diǎn)進(jìn)一步研究其圖象與性質(zhì)。本節是圖象和性質(zhì)的綜合應用的內容，命題主要突出數形結合思想、化歸轉化思想、分類(lèi)討論等數學(xué)思想方法，并注意三角知識的載體作用，注意和其他知識間的關(guān)聯(lián);判斷y=-Asin(ωx+φ)(ω>0)的單調區間，只需求y=Asin(ωx+φ)的相反區間即可，一般常用數形結合。而求y=Asin(-ωx+φ)(-ω<0)單調區間時(shí)，則需要先將x的系數變?yōu)檎�的，再設法求之。三角函數是函數的一個(gè)分支，它除了符合函數的所有關(guān)系和共性外，還有它自身的屬性;求三角函數式的最小正周期時(shí)，要盡可能地化為只含一個(gè)三角函數，且三角函數的次數為1的形式，否則很容易出現錯誤。

　　注意點(diǎn)：1.數形結合是數學(xué)中重要的思想方法，在中學(xué)階段，對各類(lèi)函數的研究都離不開(kāi)圖象，很多函數的性質(zhì)都是通過(guò)觀(guān)察圖象而得到的�！�2.作函數的圖象時(shí)，首先要確定函數的定義域。

　　3.對于具有周期性的函數，應先求出周期，作圖象時(shí)只要作出一個(gè)周期的圖象，就可根據周期性作出整個(gè)函數的圖象。

　　4.求定義域時(shí)，若需先把式子化簡(jiǎn)，一定要注意變形時(shí)x的取值范圍不能發(fā)生變化。

　　5.解析式的求解中應用好圖象，緊扣五點(diǎn)中的第一個(gè)零點(diǎn)，要注意圖象的升降情況，注意數形結合的思想。

　　【試題舉例】

　　已知函數f(x)=sin(ωx+π/3)(ω>0)的最小正周期為π，則該函數的圖象(　　)

　　A.關(guān)于點(diǎn)(π/3，0)對稱(chēng) B.關(guān)于直線(xiàn)x=π/4對稱(chēng)

　　C.關(guān)于點(diǎn)(π/4，0)對稱(chēng) D.關(guān)于直線(xiàn)x=π/3對稱(chēng)

　　【答案】A

　　【解析】由函數f(x)=sin(ωx+π/3)(ω>0)的最小正周期為π得ω=2，由2x+π/3=kπ得x=1/2kπ-π/6，對稱(chēng)點(diǎn)為(1/2kπ-π/6，0)(k∈Z)，當k=1時(shí)為(π/3，0)，選A.

　　(6)會(huì )由已知三角函數值求角，并會(huì )用符號arcsinx、arccosx、arctanx表示。

　　【導讀】解決給式(值)求值問(wèn)題常注意：注意整體思想在解題中的應用;①要注意觀(guān)察和分析問(wèn)題中各角之間的內在聯(lián)系，把“待求角”用“已知角”表示出來(lái).②要注意條件中角的范圍對三角函數值的制約作用，確定所涉及的每一個(gè)角的范圍，以免出現增(失)解。

　　根據條件計算某個(gè)角的三角函數值或者求某個(gè)三角式子的值或者求某個(gè)角的大小等，在考試中選擇、填空、解答題均可出現，并且題目大都有一定的技巧性與靈活性。

　　【試題舉例】

　　在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=1，b=√7，c=√3，則B=　　　　.

　　【答案】5π/6

　　【解析】由正弦定理得cosB=1+3-7/2*1*√3=-√3/2，所以B=5π/6.

　　(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形。

　　【導讀】除了正余弦定理外，還應掌握三角形中一些其他關(guān)系式在解題中的應用。如在△ABC中A>B⇔a>b⇔sinA>sinB，A>B⇔a>b⇔cosA

　　解斜三角形主要是已知三角形中的某些邊或角，去求另外的邊或角。多為選擇題或填空題，屬基礎題.(1)利用正弦定理，可以解決以下兩類(lèi)有關(guān)三角形問(wèn)題：①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角;②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角).(2)利用余弦定理，可以解決以下兩類(lèi)有關(guān)三角形問(wèn)題：①已知三邊，求三個(gè)角;②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。

　　【試題舉例】

　　在△ABC中，AB=√3，A=45°，C=75°，則BC等于(　　)

　　A.3-√3 B.√2 C.2 D.3+√3

　　【答案】A

　　【解析】∵AB=√3，A=45°，C=75°，由正弦定理得：

　　a/sinA=c/sinC，⇒BC/sin45°=AB/sin75°=√3/(√6+√2)/4

　　∴BC=3-√3.